Esercizio sulle formule di addizione e sottrazione per funzioni trigonometriche

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Esercizio sulle formule di addizione e sottrazione per funzioni trigonometriche #38017

avt
gretunz
Punto
Ciao potreste aiutarmi con un esercizio sulla funzione trigonometrica tangente e sulle formule di addizione e sottrazione?

\tan{\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}
 
 

Esercizio sulle formule di addizione e sottrazione per funzioni trigonometriche #38019

avt
Omega
Amministratore
Ciao Gretunz,

immagino che la richiesta dell'esercizio consista nello scrivere

\tan{\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}

come espressione dipendente dalla sola \tan{(\alpha)}.

Non devi fare altro che applicare la formula di addizione degli angoli per la tangente, che trovi nel formulario del link, e sostituire al posto di \tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)} il suo effettivo valore, cioè (valori delle funzioni goniometriche)

\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}=1

Quindi

\tan{\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\tan{(\alpha)}-\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}{1+\tan{(\alpha)}\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}}

da cui ricaviamo

\tan{\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\tan{(\alpha)}-1}{1+\tan{(\alpha)}}

A questo punto, se vuoi (tutto dipende dall'effettiva richiesta dell'esercizio, che però non hai riportato) puoi ulteriormente riscrivere l'espressione contenente \tan{(\alpha)} sfruttando la definizione di tangente, e cioè

\tan{\left(\alpha\right)}=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

Il resto è puro smanettamento algebrico

\\ \tan{\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}-1}{1+\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}\\ \\ \\ =\frac{\frac{\sin(\alpha)-\cos(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\cos(\alpha)+\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}

per cui, applicando la regola delle frazioni di frazioni e semplificando

\tan{\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{\sin(\alpha)-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)+\cos(\alpha)}
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, scaproz

Esercizio sulle formule di addizione e sottrazione per funzioni trigonometriche #38023

avt
gretunz
Punto
Grazie mille!
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Os