Quesito di Trigonometria da esame di stato

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Quesito di Trigonometria da esame di stato #37497

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, mi potreste aiutare a "decifrare" questo quesito di Trigonometria tratto da un esame di Stato? Eccolo:

Se \tan{\left(\alpha  \right)} e \tan{\left(\beta\right)} sono radici di x^2 - px + q =0 e \cot{\left(\alpha  \right)} e \cot{\left(\beta\right)} sono radici di x^2 - rx + s =0, quanto vale il prodotto rs espresso in funzione di p e q?

Cosa vuol dire?

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Quesito di Trigonometria da esame di stato #37507

avt
frank094
Maestro
Ciao Drago95,

praticamente quello che chiede questo quesito è semplicemente di scrivere il prodotto rs in funzione di p e q.
Detta così può sembrare una richiesta molto strana, ma leggendo il procedimento ti sarà immediatamente chiaro cosa chiede.

Innanzitutto, sappiamo che un polinomio di secondo grado del tipo

P(x) = x^2 + ax + b

si può scomporre, note le sue radici c,\, d, come

P(x) = (x - c)(x - d) = x^2 + (-c -d)x + cd

questo vuol dire semplicemente che

a = - c - d \qquad \qquad b = cd

Nel nostro caso particolare avremo che

r = \cot{(\alpha)} + \cot{(\beta)} \qquad \qquad s = \cot{(\alpha)} \cdot \cot{(\beta)}

per quanto riguarda la seconda equazione; per quanto riguarda la prima

p = \tan{(\alpha)} + \tan{(\beta)} \qquad \qquad q = \tan{(\alpha)} \cdot \tan{(\beta)}

Adesso, passiamo immediatamente alla sostituzione ricordando che, per definizione di cotangente, vale

\tan{(\alpha)} = \frac{1}{\cot{(\alpha)}}

Quindi riscriviamo r ed s alla luce di quanto appena detto

r = \frac{1}{\tan{(\alpha)}} + \frac{1}{\tan{(\beta)}} \qquad \qquad s = \frac{1}{\tan{(\alpha)} \cdot \tan{(\beta)}}

Da cui risulta che

r = \frac{\tan{(\alpha)} + \tan{(\beta)}}{\tan{(\alpha)} \cdot \tan{(\beta)}} \qquad \qquad s = \frac{1}{\tan{(\alpha)} \cdot \tan{(\beta)}}

A questo punto passiamo alla sotituzione di p e q, in tal modo risulta

r = \frac{p}{q} \qquad \qquad s = \frac{1}{q}

Ed ecco fatto! Abbiamo scritto le due radici della seconda, in funzione di quelle della prima emt ! E' tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Ifrit, 21zuclo, drago95, CarFaby
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