Funzione trigonometrica dipendente da due parametri

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Funzione trigonometrica dipendente da due parametri #37005

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, ho un problema di Trigonometria su una funzione goniometrica con due parametri, che non so come incominciare a risolverlo... Eccolo:

a) Trasforma la funzione

y=\sin{\left alphax\right \cos{\left(alphax - beta\right)}}


in una funzione lineare.

b) Determina alpha e beta in modo che il periodo sia pigreco/3 e la funzione passi per l'origine.

c)Determina alpha e beta in modo che il periodo sia 2pigreco e passi per il punto (pigreco;1).

d)Determina il codominio, il minimo e il massimo dell'ultima funzione ottenuta nell'intervallo [0;2pigreco] e rappresentala poi graficamente.

Cosa significa trasformare una funzione in una funzione lineare???

Nell'attesa di una risposta, vi ringrazio tantissimo anticipatamente!
 
 

Re: Funzione trigonometrica dipendente da due parametri #37018

avt
Omega
Amministratore
Ciao Drago95 emt

Se la funzione trigonometrica che dobbiamo considerare è

f(x)=\sin{(\alpha x)}\cos{(\alpha x-\beta)}

non c'è modo di trasformarla in una funzione lineare, perché non è in alcun modo una funzione lineare. Per definizione, una funzione f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} si dice lineare se soddisfa le seguenti proprietà

1) f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2) (additività)

2) f(ax)=af(x) (omogeneità)

Nel nostro caso, pur rimaneggiando l'espressione della funzione con le formule di sommazione degli angoli

f(x)=\sin{(\alpha x)}\cos{(\alpha x-\beta)}=

=\sin{(\alpha x)}[\cos{(\alpha x)}\cos{(\beta)}+\sin{(\alpha x)}\sin{(\beta)}]=

=\sin{(\alpha x)}\cos{(\alpha x)}\cos{(\beta)}+\sin^2{(\alpha x)}\sin{(\beta)}=

e applicando la formula di duplicazione del seno al contrario (stesso link di prima)

=\frac{1}{2}\sin{(\alpha x)}\cos{(\beta)}+\sin^2{(\alpha x)}\sin{(\beta)}=

non possiamo di certo riscrivere l'espressione della funzione per vedere che soddisfa la condizione di linearità.

Forse ho interpretato male la richiesta, o forse il testo della funzione non è quello che ho interpretato dalla scrittura (nel caso dimmelo emt ).

---

Per la seconda richiesta dell'esercizio, si tratta di sfruttare le due condizioni date per determinare il periodo della funzione.

Grazie alla condizione di passaggio del grafico della funzione (non della funzione) per l'origine, è sufficiente imporre

f(0)=0

ossia

\sin{(0)}\cos{(0-\beta)}=0

Dato che \sin{(0)}=0, la funzione è nulla in x=0 per qualsiasi scelta di \alpha,\beta.

...ed è qui che sorge in me il lievissimo sospetto che ci sia qualcosa che non va nel testo che hai riportato. Fammi sapere. emt
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Ifrit, Danni, drago95

Re: Funzione trigonometrica dipendente da due parametri #37021

avt
Danni
Sfera
Hello emt

Di sicuro c'è qualcosa che non va nel testo. Possiamo dare un'altra strizzatina alla funzione ma farla diventare lineare è un bel problema emt

Se applichiamo le formule di Werner otteniamo

f(x) = \frac{1}{2}[sin(\alpha x + \alpha x - \beta) + sin(\alpha x - \alpha x + \beta)]

f(x) = \frac{1}{2}[sin(2\alpha x - \beta) + sin( \beta)]

ed è tutto quello che possiamo fare. Di linearità non se ne parla proprio emt
Pure il resto dell'esercizio appare misterioso, sappici dire se la traccia è esatta. Anche se fosse un pochino più semplice, tipo

f(x) = sin(\alpha x + \beta)cos(\alpha x - \beta)

il mistero rimane.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os