Espressioni trigonometriche con formule di addizione e sottrazione

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Espressioni trigonometriche con formule di addizione e sottrazione #37001

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, di recente abbiamo incominciato la Trigonometria e non ci ho capito niente: mi aiutereste con due espressioni da semplificare con le formule goniometriche di addizione e sottrazione?

Eccole:

Calcola il valore di queste due espressioni:

\sin\left(\frac{\pi}{6}-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)

\tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)-\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right)

Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente...
 
 

Espressioni trigonometriche con formule di addizione e sottrazione #37009

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao drago95 emt

\sin\left(\frac{\pi}{6}-\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)

Per le formule di sottrazione degli archi

=\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)-\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)=

Ora ricorda che:

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}

\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)= \frac{\sqrt{3}}{2}

Inoltre:

\sin(\arccos(x))= \sqrt{1-x^2}\quad \forall x\in [-1,1]


quindi:

\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)= \sqrt{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{2}{3}\sqrt{2}

mentre

\cos(\arccos(x))= x\quad \forall x\in [-1,1]

Quindi

\cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)= -\frac{1}{3}

L'espressione diventa:

=\overbrace{\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)}^{\frac{1}{2}}\overbrace{\cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}^{-\frac{1}{3}}-\overbrace{\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\overbrace{\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}^{\frac{2}{3}\sqrt{2}}=

=-\frac{1}{6}-\frac{\sqrt{6}}{3}


_________________

Risolviamo il secondo esercizio:

\tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)-\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right)

Sempre per le formule di sottrazione abbiamo:

\tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)-\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right)=


=\frac{\tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)-\tan\left(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right)}{1+\tan\left(\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)\right)\tan\left(\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)\right)}

Ora:

\tan(\arcsin(x))= \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\quad \forall x\in (-1,1)

di conseguenza:

\tan\left(\arcsin(\frac{3}{5})\right)= \frac{3}{4}

\tan\left(\arcsin(\frac{1}{2})\right)= \frac{1}{\sqrt{3}}


Sostituendo i valori:

=\frac{\frac{3}{4}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{\sqrt{3}}{4}}=

semplificando:

= \frac{16}{13}-\frac{25\sqrt{3}}{39}
Ringraziano: Omega, 21zuclo, drago95

Espressioni trigonometriche con formule di addizione e sottrazione #37010

avt
Danni
Sfera
Ciao Drago! Questi che ti propongono sono quasi due scioglilingua emt

Tieni presente che se hai

sin\;arcsin(x)

devi leggere come: il seno dell'arco che ha seno = x, ovvero il tutto è uguale a x

mentre se hai

sin\;arccos(x)

oppure

cos\;arcsin(x)

devi ricorrere alle note formule trigonometriche derivate dalla relazione fondamentale della goniometria:

sin(x) = \sqrt{1 - cos^2(x)}

cos(x) = \sqrt{1 - sin^2(x)}

Non è necessario il doppio segno davanti al radicale perché non devi tenere presenti due soluzioni, quella dell'arco base e quella dell'arco associato supplementare.

Tutto più facile a farsi che a dirsi... emt

Primo esercizio:

sin\left[\frac{\pi}{6}- arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\right]}

Applichiamo la formula di sottrazione del seno:

sin\left\frac{\pi}{6} \left(-\frac{1}{3}\right) - cos\frac{\pi}{6}\sqrt{1 - \frac{1}{9}}=

=-\frac{1}{6}- \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{2\sqrt{2}}{3} =

= - \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{6}}{3}

Se vuoi, poi esegui un'operazione di denominatore comune ma puoi fermarti anche qui.


Per il secondo esercizio le cose si complicano perché devi ricavare la tangente in funzione dell'arcoseno. La tangente dell'arcoseno(3/5) è il rapporto tra 3/5 e il corrispondente coseno che è 4/5 per la formula suddetta.

tan\left[arcsin \left( \frac{3}{5}\right) \right] = \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}

Molto più facile il calcolo per la tangente dell'arcoseno(1/2): la tangente dell'arco il cui seno vale 1/2 è la tangente dell'angolo ampio 30°

tan(30^o) = \frac{\sqrt{3}}{3}

Ora applichiamo la formula per la tangente differenza di due archi:

tan(\alpha - \beta) = \frac{tan(\alpha) - tan(\beta)}{1 + tan(\alpha)tan(\beta)}

\frac{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}}=

= \frac{9 - \sqrt{3}}{12 + 3\sqrt{3}}= \frac{9 - \sqrt{3}}{3(4 + \sqrt{3})} =

razionalizzazione

= \frac{9 - 4\sqrt{3})(4 - \sqrt{3}}{3(16 - 3)}=

= \frac{48 - 25\sqrt{3}}{39}

Fatto. Un poco noiosi, vero? emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, drago95
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Os