Problema sulle funzioni goniometriche a risposta chiusa

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Problema sulle funzioni goniometriche a risposta chiusa #36571

luigi rovatti

Cerchio

Ciao, devo risolvere un problema sulle funzioni trigonometriche a risposta chiusa, con cinque opzioni di risposta di cui solo una è quella corretta. Riporto anche il mio svolgimento.

Il problema è questo:

L'ombra di un campanile è lunga la metà della sua altezza. Detta α la misura dell'angolo formato dal Sole sull'orizzonte in quel momento, si può dire che:

a) 45°≤α<60°
b) 60°≤α
c) α<30°
d) è notte
e) 30°≤α<45°

Svolgimento: e.

Problema sulle funzioni goniometriche a risposta chiusa #36574

Ifrit

Amministratore

Ciao luigi rovatti emt

Fai un bel disegno:

Quello che otterremo è un triangolo rettangolo, retto in A.

A noi interessa $\alpha$ e sappiamo che $\frac{AB}{AC}= 2$

Ma, per i teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli

$AB= BC \sin(\alpha)$

$AC= BC\cos(\alpha)$

quindi:

$\frac{AB}{AC}=\frac{BC\sin(\alpha)}{BC\cos(\alpha)}= 2$

cioè:

$\tan(\alpha)=2\iff \alpha= \arctan(2)\simeq 63.43^o>60^o$

Quindi la risposta è b emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco, luigi rovatti

Problema sulle funzioni goniometriche a risposta chiusa #36581

Danni

Sfera

Ciao Luigi emt

Se l'ombra è la metà dell'altezza del campanile, il sole è ancora alto.
L'altezza del campanile corrisponde quindi al cateto maggiore di un triangolo rettangolo mentre l'ombra corrisponde al cateto minore.

Diciamo x la misura della lunghezza dell'ombra, 2x la misura dell'altezza del campanile e α l'angolo formato dal sole sull'orizzonte (x > 0)
Per il secondo teorema della trigonometria risulta

$2x = x\cdot tan(\alpha)$

da cui

$tan(\alpha) = 2$

$\alpha = atan(2) = 1,107148717$

misura espressa in radianti che convertiamo in gradi:

$1,107148717 : \pi = x^o : 180^o$

$x^o = \frac{1,107148717 \cdot 180^o}{\pi} \approx 63,43^o$

L'ampiezza dell'angolo è quindi maggiore di 60°

emt

Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

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