Problema sulle funzioni goniometriche a risposta chiusa

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Problema sulle funzioni goniometriche a risposta chiusa #36571

avt
luigi rovatti
Cerchio
Ciao, devo risolvere un problema sulle funzioni trigonometriche a risposta chiusa, con cinque opzioni di risposta di cui solo una è quella corretta. Riporto anche il mio svolgimento.

Il problema è questo:

L'ombra di un campanile è lunga la metà della sua altezza. Detta α la misura dell'angolo formato dal Sole sull'orizzonte in quel momento, si può dire che:

a) 45°≤α<60°
b) 60°≤α
c) α<30°
d) è notte
e) 30°≤α<45°

Svolgimento: e.
 
 

Problema sulle funzioni goniometriche a risposta chiusa #36574

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao luigi rovatti emt

Fai un bel disegno:


campanile


Quello che otterremo è un triangolo rettangolo, retto in A.

A noi interessa \alpha e sappiamo che \frac{AB}{AC}= 2

Ma, per i teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli

AB= BC \sin(\alpha)

AC= BC\cos(\alpha)

quindi:

\frac{AB}{AC}=\frac{BC\sin(\alpha)}{BC\cos(\alpha)}= 2

cioè:

\tan(\alpha)=2\iff \alpha= \arctan(2)\simeq 63.43^o>60^o


Quindi la risposta è b emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, luigi rovatti

Problema sulle funzioni goniometriche a risposta chiusa #36581

avt
Danni
Sfera
Ciao Luigi emt

Se l'ombra è la metà dell'altezza del campanile, il sole è ancora alto.
L'altezza del campanile corrisponde quindi al cateto maggiore di un triangolo rettangolo mentre l'ombra corrisponde al cateto minore.

Diciamo x la misura della lunghezza dell'ombra, 2x la misura dell'altezza del campanile e α l'angolo formato dal sole sull'orizzonte (x > 0)
Per il secondo teorema della trigonometria risulta

2x = x\cdot tan(\alpha)

da cui

tan(\alpha) = 2

\alpha = atan(2) = 1,107148717

misura espressa in radianti che convertiamo in gradi:

1,107148717 : \pi = x^o : 180^o

x^o = \frac{1,107148717 \cdot 180^o}{\pi} \approx 63,43^o

L'ampiezza dell'angolo è quindi maggiore di 60°

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os