Funzioni trigonometriche e angoli di un quadrilatero

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Funzioni trigonometriche e angoli di un quadrilatero #36141

avt
zorro
Punto
Ciao, avrei bisogno di un aiuto per risolvere questo problema sul valore delle funzioni trigonometriche negli angoli di un quadrilatero.

Nel quadrilatero ABCD gli angoli A,B,C sono uguali e si ha ctg A = -1/3. Determinare le funzioni goniometriche dell'angolo D.

Risultato (cos A= -1/radice 10; sen A = 3/radice 10; sen D = 9 radice10/50; cos D= 13 radice 10/50.

Grazie mille per l'aiuto
 
 

Funzioni trigonometriche e angoli di un quadrilatero #36166

avt
Danni
Sfera
Ciao Zorro emt

Tieni a portata il formulario con le formule trigonometriche. Diciamo

\widehat {A} = \alpha

\widehat {D} = \delta

Nota la cotangente dell'angolo α determiniamo coseno e seno, considerando che la cotangente è negativa, quindi l'angolo è ottuso.
Coseno negativo, seno positivo.

cos(\alpha) = \frac{cot(\alpha)}{\pm \sqrt{[1 + cot^2(\alpha)]}}}

cos(\alpha) = \frac{\frac{-1}{3}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{9}}}

cos(\alpha)= \frac{-1}{\sqrt{10}}

sin(\alpha) = \frac{1}{\pm \sqrt{[1 + cot^2(\alpha)]}}

sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{9}}}

sin(\alpha) = \frac{3}{\sqrt{10}}

Occupiamoco ora dell'angolo D^

\delta = 360^o - 3\alpha

L'angolo delta è acuto, coseno e seno positivi.

cos(360^o - 3\alpha ) = cos(3 \alpha)

sin(360^o - 3\alpha ) = - sin(3 \alpha)

(il seno è negativo nel IV quadrante)

Ricordiamo le formule di triplicazione del coseno e del seno:

cos(3\alpha) = cos(\alpha)[4cos^2(\alpha) - 3]

cos(3\alpha) = \frac{-1}{\sqrt 10}\left(\frac{4}{10}}}- 3\right)

Siccome mi si è bloccata un'altra volta l'anteprima ti do i risultati scritti senza LaTeX
Tanto ormai il più è fatto.

cos(delta) = cos(3α) = (1/√10)(26/10) = 13/(5√10) = (13√10)/50

sin(3α) = sin(α)[3 - 4sin²(α)]

sin(delta) = sin(3α) = (-3/√10)(3 - 36/10) = (3/√10)(3/5) = 9/(5√10) = (9√10)/50

Scusa il finale poco elegante ma stavo lavorando al buio.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar

Re: Funzioni trigonometriche e angoli di un quadrilatero #36225

avt
zorro
Punto
Ciao Omega. grazie per la risoluzione del problema, ma ci sarebbe verso risolverlo senza usare la triplicazione del sen e del cos perchè io non l'emt ho ancora fatto??

grazie ancora
emt

Re: Funzioni trigonometriche e angoli di un quadrilatero #36226

avt
zorro
Punto
Scusa Denni non avevo letto che eri te!!! emt

Re: Funzioni trigonometriche e angoli di un quadrilatero #36229

avt
Danni
Sfera
Ciao Zorro, le formule di triplicazione arrivano dritte dritte dalle formule di duplicazione. Per questo di solito si ricavano ma il procedimento è lungo ed è quindi molto meglio aggiungerle al formulario perché sono di uso abbastanza frequente e facili da ricordare.

sin(3\alpha) = sin(\alpha + 2\alpha)= sin(\alpha)cos(2\alpha) + cos(\alpha)sin(2\alpha) =

= sin(\alpha)[cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha)] + cos(\alpha)[2sin(\alpha)cos(\alpha)] =

= sin(\alpha)cos^2(\alpha) - sin^3(\alpha) + 2sin(\alpha)cos^2(\alpha)=

= 3sin(\alpha)[1 - sin^2(\alpha)] - sin^3(\alpha)] =

= sin(\alpha)[3 - 4sin^2(\alpha)]

Per il coseno applichi la formula di addizione e ti comporti allo stesso modo ottenendo

cos(3\alpha) = cos(\alpha)[4cos^2(\alpha) - 3]

P.S. Danni come i danni, non Denni emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, zorro

Re: Funzioni trigonometriche e angoli di un quadrilatero #36243

avt
zorro
Punto
Grazie Danni ora e' tutto chiaro!!emt
Ringraziano: Danni
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Os