Rappresentazione grafica della funzione inversa

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Rappresentazione grafica della funzione inversa #34668

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, oggi il mio prof ci ha spiegato come disegnare le funzioni inverse e come rappresentarle graficamente, solo che io come al solito non ci ho capito un accidente...

Ha incominciato a fare tendente in basso, tendente in alto e ha costruito il grafico.. Io però queste tendenze non le ho proprio capite. Innanzitutto vi chiedo gentilmente se mi potreste rispiegarmi questo metodo, e vi allego un esercizio che afferma che nel grafico è rappresentata la funzione y=f(x), bisogna rappresentare la funzione inversa y=1/f(x).

Vi allego il file, nell'attesa vi ringrazio anticipatamente...

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Rappresentazione grafica della funzione inversa #34674

avt
Omega
Amministratore
Ciao Drago95 emt

C'è un grande errore concettuale che hai commesso, e che deriva da un'errata interpretazione del concetto di funzione inversa e di inverso algebrico.

L'inverso algebrico di un numero reale (non nullo) a è il reciproco del numero stesso, cioè \frac{1}{a}.

L'inversa x=f^{-1}(y) di una funzione y=f(x) non ha nulla a che fare con l'inversa algebrica, o meglio la funzione reciproca

y=\frac{1}{f(x)}


Per completezza, riporto entrambi i metodi per tracciare il grafico della funzione inversa e della funzione reciproca (quest'ultima è quella che ti interessa nell'esercizio).


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Per determinare il grafico della funzione inversa y=f^{-1}(x) di una funzione y=f(x) non devi fare altro che rappresentare il grafico simmetrico rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante y=x.

Occhio però che nel caso della funzione rappresentata in figura abbiamo come grafico una parabola. La funzione inversa non esiste globalmente, esiste solo a patto di restringere la funzione ad uno dei due intervalli (-\infty,2] oppure [2,+\infty).

]Questo perché, naturalmente, per poter parlare di funzione inversa non si può prescindere dall'iniettività di f.


Per quanto riguarda le "tendenze", il tuo professore ha iniziato a spiegarvi i limiti. Dovrai aspettare e seguire un mesetto di lezioni prima di avere un'idea più o meno precisa di che cosa si tratti...cliccando sul link puoi farti un'idea del tempo necessario. Porta pazienza, un po' di lezioni e capirai perfettamente di cosa si tratta. emt


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Per determinare il grafico qualitativo della funzione reciproca, devi fare riferimento al reciproco algebrico delle ordinate assunte dalla funzione di partenza.

Il reciproco di un numero preserva il segno di partenza, e tanto più è grande il valore a, tanto più è piccolo il valore \frac{1}{a}, e viceversa.

Nei punti in cui f(x) si annulla, la funzione reciproca non è definita. Nell'intorno sinistro e destro dei punti x in cui la funzione f(x) si annulla (nell'intorno, cioè vicino ai punti, e non "nei punti"), la funzione y=\frac{1}{f(x)} assume valori sempre più grandi in modulo perché la funzione y=f(x) assume valori sempre più piccoli. Il segno della funzione y=\frac{1}{f(x)} nell'intorno degli zeri di y=f(x) dipenderà naturalmente dal suo segno, a seconda che ci si trovi a sinistra o destra degli zeri di f.

In parole povere, in corrispondenza degli zeri di f la funzione reciproca diverge all'infinito, negativamente o positivamente, a seconda dei casi.

Prova a disegnare il grafico della funzione reciproca con queste indicazioni, e fammi sapere. Tieni conto che non deve essere un grafico da calcolatore, ma deve essere un grafico qualitativo...in ogni caso, poi, potrai confrontare il frutto dei tuoi sforzi con il grafico della funzione. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, drago95

Rappresentazione grafica della funzione inversa #34675

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao drago95 emt

L'esercizio non ti chiede di determinare la funzione inversa ma il reciproco della funzione emt

Ad ogni modo quello che devi fare è un grafico qualitativo.

Quello che sappiamo è:

1. f(x)<0 quando x<1\vee x>3 mentre è positiva quando 1<x<3

Anche \frac{1}{f(x)} è negativa in x<1\vee x>3 mentre è positiva quando 1<x<3.


2. f(1)=0, f(3)=0. Quando passiamo al reciproco, la funzione

\frac{1}{f(x)} smette di esistere per tali valori, perché il denominatore si annulla.

Quando x si avvicina a 1 da sinistra (per valori negativi) la funzione reciproco schizza a meno infinito, immagina di dividere 1 per un numero piccolissimo prossimo allo zero, negativo, il risultato sarà un numero molto grande in modulo.

Quando x si avvicina a 1 da destra, in cui la funzione è positiva, la funzione reciproco schizza a più infinito.


Quando x si avvicina a 3 da sinistra la funzione reciproco schizza a più infinito, mentre se ci avviciniamo da destra la funzione reciproco schizza a meno infinito.


Queste sono le informazioni che ci servono per determinare il grafico:



qualitativografico


In rosso la funzione, in blu la funzione reciproco

In realtà potremmo estrapolare maggiori informazioni, quali la monotonia, ma è meglio andarci piano emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95
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Os