Uguaglianze con secante, cosecante e parametro

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Uguaglianze con secante, cosecante e parametro #34665

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti, sono in difficoltà con delle uguaglianza con secante e cosecante e dipendenti da un parametro..

Per esempio in questi due esercizi come faccio a determinare quale condizione deve soddisfare il parametro k affinché l'uguaglianza sia verificata?

Eccoli:

\sec\alpha = k-4


\csc\alpha = \frac{2k}{k+3}


Nella prima so che la secante di alpha è uguale a 1/seno dell'angolo alpha... E nella seconda so che la cosecante di alpha è uguale a 1/coseno dell'angolo alpha.

Però non ho risolto niente...

Nell'attesa vi ringrazio tantissimo anticipatamente..
 
 

Uguaglianze con secante, cosecante e parametro #34679

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Drago95 emt

Devi conoscere l'immagine delle funzioni secante e cosecante \sec(\alpha) e \mbox{cosec}(\alpha). Oppure possiamo procedere in altro modo:

Sappiamo che:

\sec(\alpha)= k-4

Sapendo che \sec(\alpha)= \frac{1}{\cos(\alpha)} sostituendo l'equazione diventa:

\frac{1}{\cos(\alpha)}= k-4

La frazione al primo membro certamente non può essere zero, dobbiamo richiedere che il secondo membro sia diverso da zero: k-4\ne 0\iff k\ne 4

Adesso passiamo ai reciproci membro a membro:

\cos(\alpha)= \frac{1}{k-4}

Ricorda che la funzione coseno è a valori compresi tra -1 e 1, quindi dobbiamo richiedere che anche il secondo membro sia compreso tra questi valori:

-1\le \frac{1}{k-4}\le 1

Che equivale al sistema:

\begin{cases}\frac{1}{k-4}\ge -1\\ \frac{1}{k-4}\le 1\end{cases}

Risolvendo il sistema di disequazioni abbiamo che:

k\le 3\vee k\ge 5

Ti torna il primo? emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95

Uguaglianze con secante, cosecante e parametro #34686

avt
drago95
Cerchio
Si..
Adesso mi torna..
Grazie 1000 Ifrit..

Uguaglianze con secante, cosecante e parametro #34689

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, procediamo anche con il secondo esercizio, il procedimento è analogo:

Scriviamo \mbox{cosec}(\alpha)=\frac{1}{\sin(\alpha)}

L'equazione diventa:

\frac{1}{\sin(\alpha)}=\frac{3k}{k+3}

Abbiamo una frazione al secondo membro, il denominatore deve essere diverso da zero, otteniamo quindi la prima condizione:

k+3\ne 0\iff k\ne- 3, inoltre il primo membro non può essere zero, e quindi nemmeno il secondo può esserlo! emt

\frac{3k}{k+3}\ne 0\iff 3k\ne 0\iff k\ne 0

Otteniamo quindi un ulteriore condizione.

A questo punto passiamo ai reciproci:

\sin(\alpha)=\frac{k+3}{2k}

Poiché il seno è compreso tra -1 e 1 anche il secondo membro deve esserlo, otteniamo:

-1\le \frac{k+3}{2k}\le 1

che è equivalente al sistema:

\begin{cases}\frac{k+3}{2k}\ge -1\\ \frac{k+3}{2k}\le 1\end{cases}

Il sistema ha per soluzione k\le -1\vee k\ge 3

ma attenzione, dobbiamo escludere il valore -3. Quindi:

k< -3\vee -3< k\le-1\vee k\ge 3

Abbiamo finito. Spero d'aver chiarito i tuoi dubbi emt
Ringraziano: Omega, 21zuclo, Danni, drago95

Re: Uguaglianze con secante, cosecante e parametro #34703

avt
Danni
Sfera
Ciao Drago emt
Sono come sempre in ritardo ma questa volta non è colpa mia, ho cambiato pc e sistema operativo, cose per me decisamente traumatiche emt

Allora, la prima:

sec(\alpha) = k - 4

che significa:

\frac{1}{cos(\alpha)}= k - 4}

Possiamo quindi scrivere

cos(\alpha) = \frac{1}{k - 4}

imponendo

k \neq 4

Poiché conosciamo le limitazioni del coseno, dobbiamo imporre

- 1 \leq \frac{1}{k - 4} \leq 1

che equivale all'unione dei due sistemi

1)\;\;\begin{cases}{k < 4 \\ \begin{cases}k - 4 \leq - 1 \\ k - 4 \leq 1 \end{cases}} \end{cases}

verificato per

k - 4 \leq - 1 \Leftrightarrow k \leq 3

2)\;\;\begin{cases}{k > 4 \\ \begin{cases}k - 4 \geq - 1 \\ k - 4 \geq 1 \end{cases}} \end{cases}

verificato per

k - 4 \geq 1 \Leftrightarrow k \geq 5

Il problema ha soluzioni per

k \leq 3\; \vee \;k \geq 5

La seconda: nell'impostazione dei sistemi è inutile ribaltare i termini perché siamo in presenza di una frazione.
La condizione iniziale è

k \neq - 3

sin(\alpha) = \frac{k + 3}{2k}

con la condizione aggiunta

k \neq 0

Quindi:

k \neq-3 \;\wedge   \;k \neq 0

Ora impostiamo la disequazione

- 1 \leq \frac{k + 3}{2k}\leq 1

ovvero il sistema

\begin{cases}\frac{k + 1}{k} \geq 0 \Leftrightarrow k \leq - 1\vee k > 0 \\ \frac{k - 3}{k} \geq 0 \Leftrightarrow k < 0 \vee k \geq 3   \end{cases}

verificato per

\begin{cases}k \neq - 3 \wedge k \neq 0 \\ k \leq - 1 \vee k \geq 3\end{cases}

ovvero per

k < - 3\vee - 3 < k \leq - 1 \vee k \geq 3

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, drago95
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