Identità goniometria con formule addizione e sottrazione

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Identità goniometria con formule addizione e sottrazione #34034

avt
000Claudy000
Punto
Ciao a tutti, non ho capito come si svolge questa identità goniometrica, il libro dice di risolverla con le formule di addizione e sottrazione, ma non so come fare:

sen(30° + alfa) + cos(60° + alfa) = cos alfa

Vi ringrazio..
Ringraziano: Danni
 
 

Identità goniometria con formule addizione e sottrazione #34042

avt
kameor
Sfera
Ciao,

somma e sottrai +60° dentro al seno:

\sin(30 + 60 - 60 + \alpha) = \sin(90 - (60 - \alpha))

sfruttando le proprietà del seno:

\sin(90 - (60 - \alpha)) = \cos(60 - \alpha)

poi applica le formule per il calcolo del coseno della somma o differenza di angoli

\cos(60 - \alpha) =

\cos(60)\cos(\alpha) + \sin(60)\sin(\alpha)= \frac{1}{2} cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha)

\cos(60 + \alpha) =

\cos(60)\cos(\alpha) - \sin(60)\sin(\alpha)= \frac{1}{2} \cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha)

per cui:

\cos(60 - \alpha) + \cos(60 + \alpha) =

\frac{1}{2} \cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha) + \frac{1}{2} \cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin(\alpha)=

=\cos(\alpha)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, 21zuclo

Identità goniometria con formule addizione e sottrazione #34043

avt
Omega
Amministratore
Ciao 000Claudy000 emt

Devi procedere applicando le formule trigonometriche per somma e differenza degli angoli (click):

\sin{(30^o+\alpha)}=\sin{(30^o)}\cos{(\alpha)}+\cos{(30^o)}\sin{(\alpha)}

\cos{(60^o+\alpha)}=\cos{(60^o)}\cos{(\alpha)}-\sin{(60^o)}\sin{(\alpha)}

Per il resto si tratta di sostituire i valori delle funzioni trigonometriche negli angoli notevoli 30^o,60^o e vedere che quella proposta è effettivamente un'identità.

Nota: a costo di sembrare pedante, un'identità si "verifica", non si "svolge". I professori (com'è giusto che sia) tendono a valutare i propri studenti anche in base alla scelta dei vocaboli. emt
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit

Identità goniometria con formule addizione e sottrazione #34044

avt
Omega
Amministratore
Ehi Kameor! emt

Scusami ma non ti avevo visto nella pagina di risposta... emt (devo decidermi una volta per tutte ad aggiustare il parser che scrive i nomi utente, oltre che il numero totale...emt )
Ringraziano: Ifrit

Identità goniometria con formule addizione e sottrazione #34051

avt
Danni
Sfera
Ciao Claudy emt
Conviene trasformare quel coseno che dà un po' fastidio:

cos(60^o + \alpha) = sin(90^o - 60^o - \alpha) = sin(30^o - \alpha)

così l'uguaglianza diventa

sin(30^o + \alpha) + sin(30^o - \alpha) = cos(\alpha)

Applichiamo facilmente le formule di addizione e sottrazione del seno:

sin(30^o)cos(\alpha) + cos(30^o)sin(\alpha) + sin(30^o)cos(\alpha) - cos(30^o)sin(\alpha) = cos(\alpha)

Semplifichiamo:

2sin(30^o)cos(\alpha) = cos(\alpha)

2\cdot \frac{1}{2} cos(\alpha) = cos(\alpha)

cos(\alpha) = cos(\alpha)

Identità verificata emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Identità goniometria con formule addizione e sottrazione #34053

avt
kameor
Sfera
@Omega: we, di nulla figurati
Ringraziano: Omega
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Os