Esercizio sulle formule di bisezione

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Esercizio sulle formule di bisezione #33954

avt
terry
Banned
Ciao ragazzi, ho un problema non riesco a capire cosa fare con questo esercizio sulle formule di bisezione.

Calcolare \sin \frac{\alpha  }{2}  , \cos \frac{\alpha  }{2} , \tan \frac{\alpha  }{2}, sapendo che è \tan \alpha  = \frac{24}{7} con 180^o<\alpha<270^o

Chi mi dà una mano per favore? Grazie in anticipo!
 
 

Esercizio sulle formule di bisezione #33955

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Terry emt

Un modo di procedere è il seguente:

scriviamo il seno e il coseno in funzione della tangente, tramite le formule:

\sin\alpha= \frac{\tan\alpha}{\pm \sqrt{1+\tan^2\alpha}}

Nota che quando 180^o<\alpha<270^o il seno è negativo, dobbiamo quindi scegliere il segno meno:

\sin\alpha= -\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=

=-\frac{\frac{24}{7}}{\sqrt{1+\left(\frac{24}{7}\right)^2}}=-\frac{24}{25}

Per quanto riguarda il coseno

\cos\alpha=\frac{1}{\pm\sqrt{1+\tan^2\alpha}}

Il coseno è negativo quando 180^o<\alpha<270^o, quindi dobbiamo scegliere il segno:

\cos\alpha=\frac{1}{-\sqrt{1+\tan^2\alpha}}=\frac{1}{-\sqrt{1+\left(\frac{24}{7}\right)^2}} =-\frac{7}{25}

A questo punto, tramite le formule di bisezione possiamo calcolare i valori richiesti dall'esercizio:

\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=

=\pm \sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\pm \frac{4}{5}


Questione delicata: Osserva che, poiché 180^o<\alpha<270^o allora, dividendo membro a membro per 2:

90^o<\frac{\alpha}{2}<135^o

In questo intervallo, il seno è positivo, quindi dobbiamo prendere il segno +

\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{4}{5} .

Procediamo allo stesso modo per il coseno:

\cos \frac{\alpha}{2}= \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=

=\pm\sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}}=\pm \frac{3}{5}

Il coseno, nell'intervallo (90^o, 135^o) è negativo, dobbiamo scegliere quindi il segno meno:

\cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{3}{5}

Ora possiamo calcolare la tangente con la definizione:

\tan\frac{\alpha}{2}= \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}= \frac{4}{5}\cdot\left(-\frac{5}{3}\right)=-\frac{4}{3}.

Oppure possiamo utilizzare la formula di bisezione della tangente:

\tan\frac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=

=\pm\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{1-\frac{7}{25}}}=\pm \frac{4}{3}

Ricordando che la tangente è negativa nell'intervallo (90^o,135^o) dobbiamo scegliere il segno meno:

\tan\frac{\alpha}{2}=-\frac{4}{3}

Finito emt ti lascio un link che torna sempre utile, quello delle formule trigonometriche. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, 21zuclo, terry, Danni, francy841

Esercizio sulle formule di bisezione #33960

avt
Danni
Sfera
Ciao ragazzi, ma possibile che tutti e tre non abbiamo nulla di meglio da fare la domenica? emt

Innanzitutto diciamo che se è

180^o < \alpha < 270^o

siamo nel III quadrante in cui la tangente è positiva.

Se però passiamo all'angolo metà, le limitazioni diventano

90^o < \frac{\alpha}{2} < 135^o

Siamo nel II quadrante in cui la tangente e il coseno sono negativi ed il seno è positivo.
Teniamo a mente queste cose.

Siccome sono un sovversivo di natura, comincio dalla tangente.

Imponendo

tan\frac{\alpha}{2} = t

con la condizione

\alpha \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}

utilizziamo la formula

tan(\alpha) = \frac{2t}{1 - t^2}

\frac{12}{7} =\frac{t}{1 - t^2}

Risolviamo l'equazione di II grado in t

12t^2 + 7t - 12 = 0

ottenendo due soluzoni di cui consideriamo la soluzione negativa:

t = tan\frac{\alpha}{2} = - \frac{4}{3}

Ora calcoliamo il valore del coseno dell'arco metà con la formula

cos\frac{\alpha}{2} = -\frac{1}{\sqrt{1 + t^2}}

perché ricordiamo che il coseno deve essere negativo.

cos\frac{\alpha}{2} = - \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{16}{9}}} = - \frac{3}{5}

sin\frac{\alpha}{2} = tan\frac{\alpha}{2}\cdot cos\frac{\alpha}{2} = \left (- \frac{4}{3}\right)\cdot \left (- \frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}

e come volevasi dimostrare, il seno è positivo emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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