Esercizio sulle formule di bisezione

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Esercizio sulle formule di bisezione #33954

avt
terry
Banned
Ciao ragazzi, ho un problema non riesco a capire cosa fare con questo esercizio sulle formule di bisezione.

Calcolare sin (α)/(2) , cos (α)/(2) , tan (α)/(2), sapendo che è tan α = (24)/(7) con 180^o < α < 270^o

Chi mi dà una mano per favore? Grazie in anticipo!
 
 

Esercizio sulle formule di bisezione #33955

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Terry emt

Un modo di procedere è il seguente:

scriviamo il seno e il coseno in funzione della tangente, tramite le formule:

sinα = (tanα)/(±√(1+tan^2α))

Nota che quando 180^o < α < 270^o il seno è negativo, dobbiamo quindi scegliere il segno meno:

sinα = -(tanα)/(√(1+tan^2α)) =

= -((24)/(7))/(√(1+((24)/(7))^2)) = -(24)/(25)

Per quanto riguarda il coseno

cosα = (1)/(±√(1+tan^2α))

Il coseno è negativo quando 180^o < α < 270^o, quindi dobbiamo scegliere il segno:

cosα = (1)/(-√(1+tan^2α)) = (1)/(-√(1+((24)/(7))^2)) = -(7)/(25)

A questo punto, tramite le formule di bisezione possiamo calcolare i valori richiesti dall'esercizio:

sin(α)/(2) = ±√((1-cosα)/(2)) =

= ±√((1+(7)/(25))/(2)) = ±(4)/(5)


Questione delicata: Osserva che, poiché 180^o < α < 270^o allora, dividendo membro a membro per 2:

90^o < (α)/(2) < 135^o

In questo intervallo, il seno è positivo, quindi dobbiamo prendere il segno +

sin(α)/(2) = (4)/(5).

Procediamo allo stesso modo per il coseno:

cos (α)/(2) = ±√((1+cosα)/(2)) =

= ±√((1-(7)/(25))/(2)) = ±(3)/(5)

Il coseno, nell'intervallo (90^o, 135^o) è negativo, dobbiamo scegliere quindi il segno meno:

cos(α)/(2) = -(3)/(5)

Ora possiamo calcolare la tangente con la definizione:

tan(α)/(2) = (sin(α)/(2))/(cos(α)/(2)) = ((4)/(5))/(-(3)/(5)) = (4)/(5)·(-(5)/(3)) = -(4)/(3).

Oppure possiamo utilizzare la formula di bisezione della tangente:

tan(α)/(2) = ±√((1-cosα)/(1+cosα)) =

= ±√((1+(7)/(25))/(1-(7)/(25))) = ±(4)/(3)

Ricordando che la tangente è negativa nell'intervallo (90^o,135^o) dobbiamo scegliere il segno meno:

tan(α)/(2) = -(4)/(3)

Finito emt ti lascio un link che torna sempre utile, quello delle formule trigonometriche. emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, 21zuclo, terry, Danni, francy841
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Os