Verificare un'identità goniometrica

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Verificare un'identità goniometrica #33944

avt
terry
Banned
Ciao, chi mi può aiutare per favore a verificare questa identità goniometrica?

La traccia è: verificare la seguente uguaglianza e determinare gli eventuali valori di 'a' per i quali essa non ha senso:

\frac{\tan 2\alpha+\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}= \frac{\tan2\alpha-\sin2\alpha}{\sin^2\alpha}
 
 

Verificare un'identità goniometrica #33949

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok! emt

Per prima cosa dobbiamo richiedere che:

\cos^2\alpha\ne 0\iff \alpha\ne \frac{\pi}{2}+k \pi

\sin^2\alpha\ne 0 \iff \alpha\ne k\pi

\cos 2\alpha\ne 0\iff \alpha\ne \frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}

dove k\in \mathbb{Z}

Queste sono le condizioni di esistenza per l'uguaglianza, cioè i valori in cui essa ha senso.


Un metodo per mostrare questa uguaglianza è il seguente:

\frac{\tan 2\alpha+\sin 2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{\tan2\alpha-\sin 2\alpha}{\sin^2\alpha}

Moltiplichiamo membro a membro per \sin^2\alpha

\sin^2\alpha\cdot\left(\frac{\tan 2\alpha+\sin 2\alpha}{\cos^2\alpha}\right)=\tan2\alpha-\sin 2\alpha


Moltiplichiamo membro a membro per \cos^2\alpha

\sin^2\alpha\cdot\left(\tan 2\alpha+\sin 2\alpha\right)=\cos^2\alpha\left(\tan2\alpha-\sin 2\alpha\right)

Dalla relazione fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche) segue che:

\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha

Sostituiamo:

\sin^2\alpha\cdot\left(\tan 2\alpha+\sin 2\alpha\right)=(1-\sin^2\alpha)\left(\tan2\alpha-\sin 2\alpha\right)


Effettuiamo la moltiplicazione al secondo membro:

\sin^2\alpha\cdot\left(\tan 2\alpha+\sin 2\alpha\right)=\left(\tan2\alpha-\sin 2\alpha\right)-\sin^2\alpha (\tan2\alpha-\sin2\alpha)

Portiamo al primo membro il termine

-\sin^2\alpha (\tan2\alpha-\sin2\alpha)

\sin^2\alpha\cdot\left(\tan 2\alpha+\sin 2\alpha\right)+\sin^2\alpha (\tan2\alpha-\sin2\alpha)=\tan2\alpha-\sin 2\alpha

Mettiamo in evidenza \sin^2\alpha al primo membro:

\sin^2\alpha\cdot\left[\tan 2\alpha+\sin 2\alpha+ \tan2\alpha-\sin2\alpha\right]=\tan2\alpha-\sin 2\alpha

Sommiamo i termini simili al primo membro:

\sin^2\alpha\cdot2\tan 2\alpha=\tan2\alpha-\sin 2\alpha

Portiamo al primo membro \tan2\alpha:

\sin^2\alpha\cdot2\tan 2\alpha-\tan2\alpha=-\sin 2\alpha

Mettiamo in evidenza \tan2\alpha

\tan2\alpha(2\sin^2\alpha-1)=-\sin 2\alpha

Ora:

2\sin^2\alpha-1= 2\sin^2\alpha-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=

=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos 2\alpha

pertanto sostituendo nella espressione precedente abbiamo:

\tan2\alpha\cdot (-\cos 2\alpha)=-\sin 2\alpha

Ricordando infine che:

\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} allora:

\tan2\alpha\cdot (-\cos 2\alpha)=-\sin 2\alpha

\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}\cdot (-\cos 2\alpha)=-\sin 2\alpha

Semplifica il coseno:

-\sin2\alpha=-\sin 2\alpha

L'uguaglianza è verificata emt

Certamente esistono altre strade più o meno furbe, ma al momento m'è venuta questa, spero sia chiaro!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, terry, Danni

Verificare un'identità goniometrica #33950

avt
Danni
Sfera
Arieccomi emt

Abbiamo

\frac{tan(2\alpha) + sin(2\alpha)}{cos^2(\alpha)} = \frac{tan(2\alpha) - sin(2\alpha)}{sin^2(\alpha)}

Prima di tutto (e non alla fine, altrimenti non potremmo neppure cominciare emt ) stabiliamo l'esistenza dell'uguaglianza.

Perché la tangente esista deve essere

2\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

ovvero

a)\;\;\alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}

Denominatori non nulli:

cos(\alpha) \neq 0

ovvero

b)\;\;\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

sin(\alpha)\neq 0

ovvero

c)\;\;\alpha \neq k\pi

Poiché i 'divieti' si ripetono per ogni angolo ampio 45°, compattiamo i 'divieti' a, b, c in

\alpha \neq \frac{k\pi}{4}

E adesso verifichiamo l'identità.
Sai che farei? Riferirei anche i denominatori all'angolo doppio, ricordando che per l'inverso delle formule di duplicazione del coseno risulta:

cos^2(\alpha) = \frac{1 + cos(2\alpha)}{2}

sin^2(\alpha) = \frac{1 - cos(2\alpha)}{2}

Così possiamo scrivere

\frac{tan(2\alpha) + sin(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)} = \frac{tan(2\alpha) - sin(2\alpha)}{1 - cos(2\alpha)}

Primo membro:

\frac{\frac{sin(2\alpha)}{cos(2\alpha)} + sin(2\alpha)}{1 + cos(2\alpha)} =

= \frac{sin(2\alpha)[1 + cos(2\alpha)]} {1 + cos(2\alpha)} = sin(2\alpha)

Secondo membro:

\frac{\frac{sin(2\alpha)}{cos(2\alpha)} - sin(2\alpha)}{1 - cos(2\alpha)} =

= \frac{sin(2\alpha)[1 - cos(2\alpha)]} {1 - cos(2\alpha)} = sin(2\alpha)

Primo membro = secondo membro.
Identità verificata sotto le condizioni imposte.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, terry

Verificare un'identità goniometrica #33952

avt
terry
Banned
Grazie a tutti emt emt
Ringraziano: Danni
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Os