Seno e coseno in funzione della tangente

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Seno e coseno in funzione della tangente #33889

avt
drago95
Cerchio
Ho problemi con un esercizio di trigonometria: devo ricavare delle opportune formule per seno e coseno in funzione della tangente.

Eccolo: utilizza le relazioni fondamentali per dimostrare le formule che permettono di trovare sin(α) e cos(α) in funzione di tan(α).

sin(α) = ±(tan(α))/(√(1+tan^2(α))) ; cos(α) = ±(1)/(√(1+tan^2(α)))

Come si fa?
Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Seno e coseno in funzione della tangente #33896

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao drago,

puoi trovare tutto ciò che serve nella lezione su seno e coseno di un angolo e nel fantastico formulario con tutte le formule trigonometriche.

La relazione fondamentale della trigonometria è:

sin^2(x)+cos^2(x) = 1

Ora partiamo dalla definizione di tangente di un angolo e in particolare da

tan^2(x) = (sin^2(x))/(cos^2(x))

Dalla relazione fondamentale segue che

sin^2(x) = 1-cos^2(x)

Sostituiamo

tan^2(x) = (1-cos^2(x))/(cos^2(x))

Moltiplichiamo membro a membro per cos^2(x)

cos^2(x)tan^2(x) = 1-cos^2(x)

Passiamo al primo membro il cos^2(x)

cos^2(x)tan^2(x)+cos^2(x) = 1

Mettiamo in evidenza cos^2(x)

cos^2(x)(tan^2(x)+1) = 1

Dividiamo membro a membro per tan^2(x)+1

cos^2(x) = (1)/(tan^2(x)+1)

Estraiamo la radice membro a membro:

cos(x) = ±√((1)/(tan^2(x)+1))

per le proprietà delle radici abbiamo che:

cos(x) = ±(1)/(√(tan^2(x)+1))


Ora vediamo l'altra relazione. Sempre da

tan^2(x) = (sin^2(x))/(cos^2(x))

Scriviamo cos^2(x) = 1-sin^2(x) e sostituiamo:

tan^2(x) = (sin^2(x))/(1-sin^2(x))

Moltiplichiamo membro a membro per 1-sin^2(x)

(1-sin^2(x))tan^2(x) = sin^2(x)

Portiamo al primo membro il seno al quadrato:

tan^2(x)-sin^2(x)tan^2(x)-sin^2(x) = 0

Portiamo al secondo membro la tangente al quadrato

-sin^2(x)tan^2(x)-sin^2(x) = -tan^2(x)

Cambiamo segno membro a membro:

sin^2(x)tan^2(x)+sin^2(x) = tan^2(x)

Ora mettiamo in evidenza il seno al quadrato:

sin^2(x)(tan^2(x)+1) = tan^2(x)

Dividiamo membro a membro per tan^2(x)+1

sin^2(x) = (tan^2(x))/(tan^2(x)+1)

estraiamo la radice membro a membro:

sin(x) = ±√((tan^2(x))/(tan^2(x)+1))

sempre per le proprietà delle radici

sin(x) = ±(tan(x))/(√(tan^2(x)+1))

finito!

Attenzione al campo d'esistenza delle funzioni, ovviamente.
Ringraziano: Omega, 21zuclo, Danni, drago95, attilasob
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Os