Seno e coseno in funzione della tangente

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Seno e coseno in funzione della tangente #33889

avt
drago95
Cerchio
Ho problemi con un esercizio di trigonometria: devo ricavare delle opportune formule per seno e coseno in funzione della tangente.

Eccolo: utilizza le relazioni fondamentali per dimostrare le formule che permettono di trovare \sin{\left(\alpha  \right)} e \cos{\left(\alpha  \right)} in funzione di \tan{\left(\alpha  \right)}.

\\ \sin(\alpha)=\pm\frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}}\\ \\ \\ \cos(\alpha)=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(\alpha)}}

Come si fa?
Nell'attesa vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Seno e coseno in funzione della tangente #33896

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao drago,

puoi trovare tutto ciò che serve nella lezione su seno e coseno di un angolo e nel fantastico formulario con tutte le formule trigonometriche.

La relazione fondamentale della trigonometria è:

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1

Ora partiamo dalla definizione di tangente di un angolo e in particolare da

\tan^2(x)= \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}

Dalla relazione fondamentale segue che

\sin^2(x)=1-\cos^2(x)

Sostituiamo

\tan^2(x)= \frac{1-\cos^2(x)}{\cos^2(x)}

Moltiplichiamo membro a membro per \cos^2(x)

\cos^2(x)\tan^2(x)=1-\cos^2(x)

Passiamo al primo membro il cos^2(x)

\cos^2(x)\tan^2(x)+\cos^2(x)=1

Mettiamo in evidenza \cos^2(x)

\cos^2(x)(\tan^2(x)+1)=1

Dividiamo membro a membro per \tan^2(x)+1

\cos^2(x)= \frac{1}{\tan^2(x)+1}

Estraiamo la radice membro a membro:

\cos(x)=\pm \sqrt{\frac{1}{\tan^2(x)+1}}

per le proprietà delle radici abbiamo che:

\cos(x)=\pm\frac{1}{ \sqrt{\tan^2(x)+1}}


Ora vediamo l'altra relazione. Sempre da

\tan^2(x)=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}

Scriviamo \cos^2(x)= 1-\sin^2(x) e sostituiamo:

\tan^2(x)=\frac{\sin^2(x)}{1-\sin^2(x)}

Moltiplichiamo membro a membro per 1-\sin^2(x)

(1-\sin^2(x))\tan^2(x)= \sin^2(x)

Portiamo al primo membro il seno al quadrato:

\tan^2(x)-\sin^2(x)\tan^2(x)-\sin^2(x)=0

Portiamo al secondo membro la tangente al quadrato

-\sin^2(x)\tan^2(x)-\sin^2(x)=-\tan^2(x)

Cambiamo segno membro a membro:

\sin^2(x)\tan^2(x)+\sin^2(x)=\tan^2(x)

Ora mettiamo in evidenza il seno al quadrato:

\sin^2(x)(\tan^2(x)+1)=\tan^2(x)

Dividiamo membro a membro per \tan^2(x)+1

\sin^2(x)=\frac{\tan^2(x)}{\tan^2(x)+1}

estraiamo la radice membro a membro:

\sin(x)=\pm\sqrt{ \frac{\tan^2(x)}{\tan^2(x)+1}}

sempre per le proprietà delle radici

\sin(x)=\pm\frac{\tan(x)}{\sqrt{\tan^2(x)+1}}

finito!

Attenzione al campo d'esistenza delle funzioni, ovviamente.
Ringraziano: Omega, 21zuclo, Danni, drago95, attilasob
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Os