Esercizio sulle formule parametriche in goniometria

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Esercizio sulle formule parametriche in goniometria #33719

avt
terry
Banned
Chi mi può aiutare con questo esercizio sull'uso delle formule parametriche goniometriche?

Esprimere in funzione di t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) la seguente espressione

\frac{2cos(\alpha) + sin(\alpha)}{\sqrt{2}sin(\alpha) + 2cos(\alpha + 45^o)}
 
 

Esercizio sulle formule parametriche in goniometria #33939

avt
Danni
Sfera
Ciao Terry,

allora, per snellire il procedimento calcoliamo prima, con le formule di somma e sottrazione degli angoli per il coseno

\\ 2cos(\alpha + 45^o) = 2 [cos(\alpha)cos(45^o) - sin(\alpha)sin(45^o)] =\\ \\ = \sqrt{2}cos(\alpha) - \sqrt{2}sin(\alpha)

L'espressione diventa:

\\ \frac{2cos(\alpha) + sin(\alpha)}{\sqrt{2}sin(\alpha) + \sqrt{2}cos(\alpha) - \sqrt{2}sin(\alpha)} =\\ \\ \\ = \frac{2cos(\alpha) + sin(\alpha)}{\sqrt{2}cos(\alpha)}=

razionalizzando

 = \frac{\sqrt{2}[2cos(\alpha) + sin(\alpha)]}{2cos(\alpha)}=

(spezzando la frazione)

= \sqrt{2} + \frac{\sqrt2}{2}tan(\alpha)}

Per le formule parametriche trigonometriche, detta

tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = t

con

\frac{\alpha}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

ovvero

\alpha \neq \pi + 2k\pi

è

tan(\alpha) = \frac{2t}{1 - t^2}

quindi l'espressione equivale a

\\ \sqrt2\left(1+ \frac{t}{1 - t^2}\right)=\\ \\ \\ = \frac{\sqrt2(1 - t^2 + t)}{1 - t^2}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, terry

Esercizio sulle formule parametriche in goniometria #33942

avt
terry
Banned
Grazie mille, ho capito tutto!
Ringraziano: Danni
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Os