Periodo funzioni goniometriche

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Periodo funzioni goniometriche #33263

avt
000Claudy000
Punto
Oggi in classe la professoressa ha spiegato il periodo delle funzioni goniometriche ma purtroppo io ero assente. Solo che la professoressa ha dato dei compiti per domani appunto sul periodo e io non ho capito molto.

Calcolare il periodo della funzione

f(x)=\cos(\omega x+20^{\circ})

al variare del parametro reale positivo \omega.
 
 

Periodo funzioni goniometriche #33278

avt
Omega
Amministratore
Ciao Claudy,

se il problema riguarda la nozione di funzione periodica, puoi trovare una semplice (e completa) spiegazione nella lezione del link.

Se invece il problema riguarda lo svolgimento della tipologia degli esercizi proposti, puoi trovare diversi esercizi svolti che ti saranno utili per capire come procedere. Li puoi trovare effettuando una ricerca qui su YM, con parole chiave "periodo funzioni".

Per determinare il periodo della funzione goniometrica

f(x)=\cos{(\omega x+20^\circ)} \ \ \ \mbox{con} \ \omega>0

è sufficiente ricorrere alla definizione di funzione periodica, imponendo l'uguaglianza

f(x)=f(x+T) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in Dom(f)

dove il più piccolo numero reale positivo T che soddisfa la precedente relazione per ogni x in \mathbb{R} è il periodo della funzione per definizione.

Risolviamo dunque l'equazione goniometrica

\cos{(\omega x+20^{\circ})}=\cos{(\omega(x+T)+20^{\circ})}

Per come è definito il coseno, l'equazione è soddisfatta se

\omega x+20^{\circ}=\omega(x+T)+20^{\circ}+360^{\circ}k

e anche se

\omega x+20^{\circ}=-\omega (x+T)-20^{\circ}+360^{\circ}k

dove k è un numero intero.

Dalla prima equazione otteniamo

\omega T=-360^{\circ}k\ \to \ T=-\frac{360^{\circ}k}{\omega}

Dalla seconda ricaviamo un valore di T dipendente da x, che quindi non può candidarsi a periodo.

Si salva solo la soluzione relativa alla prima equazione: essendo k un intero relativo (k\in\mathbb{Z}) e \omega un numero reale positivo, concludiamo che il periodo di f(x) è

\\ T=\frac{360^{\circ}}{\omega}

ottenuto per k=-1.
Ringraziano: Pi Greco, xavier310
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Os