Trasformare l'espressione in funzione della tangente {Goniometria]

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Trasformare l'espressione in funzione della tangente {Goniometria] #32908

avt
Bustedd
Cerchio
Riciao, secondo ed ultimo problema: qui devo trasformare un'espressione goniometrica in funzione della tangente! emt

L'espressione è questa:

 \frac{2sen\alpha - cos\alpha}{cos\alpha - sen\alpha} \cdot \frac{2sen\alpha cos\alpha - 1}{ - 1 + 2tg\alpha }

con  90 < \alpha < 180 .

Il risultato: \frac{tg\alpha -1}{1 + tg^{2}\alpha }.

Grazie mille!
 
 

Re: Trasformare l'espressione in funzione della tangente {Goniometria] #32945

avt
Danni
Sfera
Eccomi eccomi.
Hai studiato le relazioni fondamentali, quindi le applichiamo.
Prima però dobbiamo correggere quell'errore del segno.

Partiamo dall'inizo:

\frac{2sin(\alpha) - cos(\alpha)}{cos(\alpha) - sin(\alpha)}\cdot \frac{1 - 2sin(\alpha)cos(\alpha)}{2tan(\alpha) - 1}

Attenzione ai segni della seconda frazione che scriviamo così:

- \frac{2sin(\alpha)cos(\alpha) - 1}{2tan (\alpha) - 1}

ovvero

-\frac{[cos(\alpha) - sin(\alpha)]^2}{2tan(\alpha) - 1}

Vedi il meno davanti alla frazione? Moltiplica tutto quanto.
E' quello che fa cambiare i segni e dopo la semplificazione arrivi a

cos(\alpha)[sin(\alpha) - cos(\alpha)]

Ora applichi le relazioni fondamentali:

\frac{1}{\pm \sqrt{1 + tan^2(\alpha)}}\left[\frac{tan(\alpha)}{\pm\sqrt{1 + tan^2(\alpha)}}- \frac{1}{\pm \sqrt{1 + tan^2(\alpha)}}\right] =

= \frac{tan(\alpha) - 1}{1 + tan^2(\alpha)}

Ok? Però controlla sempre i testi prima di inviare.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Bustedd

Re: Trasformare l'espressione in funzione della tangente {Goniometria] #32946

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao, vediamo come procedere emt è quasi superfluo dire che ci serviranno alcune formule goniometriche, quindi occhio!

Per prima cosa osserva che

1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha

di conseguenza:

2\sin\alpha \cos\alpha-1= -\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha-\cos^2\alpha=

=-(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha \cos\alpha)=-(\cos\alpha-\sin\alpha)^2

sostituiamo nella espressione:

\frac{2\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}\cdot \frac{-(\cos\alpha-\sin\alpha)^2}{-1+2\tan\alpha}

semplifichiamo a croce:

(2\sin\alpha-\cos\alpha)\cdot \frac{-(\cos\alpha-\sin\alpha)}{-1+2\tan\alpha}=

Inoltre:

-1+2\tan\alpha= -1+2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=

=\frac{-\cos\alpha+2\sin\alpha}{\cos\alpha}



(2\sin\alpha-\cos\alpha)\cdot \frac{-(\cos\alpha-\sin\alpha)}{\frac{-\cos\alpha+2\sin\alpha}{\cos\alpha}}=


(2\sin\alpha-\cos\alpha)\cdot \frac{-\cos\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha)}{-\cos\alpha+2\sin\alpha}=

semplifichiamo:

-\cos\alpha(\cos\alpha-\sin\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha-\cos^2\alpha

Mettiamo in evidenza \cos^2\alpha

\cos^2\alpha\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1\right)

Dalla relazione fondamentale della trigonometria abbiamo che:

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Mettendo in evidenza \cos^2\alpha

\cos^2\alpha\left(\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1\right)=1

Ora:

\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha, dunque:

\cos^2\alpha\left(\tan^2\alpha+1\right)=1

Dividendo membro a membro per \tan^2\alpha+1 otteniamo che:

\cos^2\alpha= \frac{1}{\tan^2\alpha+1}

Andando a sostituire:

\overbrace{\cos^2\alpha}^{=\frac{1}{\tan^2\alpha+1}}\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1\right)= \frac{\tan\alpha-1}{\tan^2\alpha+1}

Abbiamo finito emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Bustedd, Danni

Re: Trasformare l'espressione in funzione della tangente {Goniometria] #32948

avt
Bustedd
Cerchio
Un grazie è il minimo che possa dire!

Grazie veramente a tutti e 2 per avermi dedicato tutto questo tempo con pazienza emt

Non saprei proprio come fare senza di voi! emt
Ringraziano: Ifrit, Danni
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Os