Funzioni goniometriche con angoli equivalenti

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Funzioni goniometriche con angoli equivalenti #31735

avt
Bustedd
Cerchio
Oggi il prof si è divertito a darci altri esercizi sui valori delle funzioni goniometriche in corrispondenza di angoli equivalenti, e che non ha spiegato!

Stavolta sono le espressioni, come ad esempio

\frac{1}{2}\cos(540^{\circ})+\frac{2}{3}\sin(720^{\circ}) - \frac{1}{4}\sin(450^{\circ}) + 6\sin(-270^{\circ})

Ce ne sono altre due, ma vorrei sapere il procedimento perché della teoria non ho capito molto!

Un grazie in anticipo per l'aiuto che mi date e che mi avete sempre dato!
 
 

Funzioni goniometriche con angoli equivalenti #31784

avt
Omega
Amministratore
Dobbiamo risolvere l'espressione goniometrica

\frac{1}{2}\cos(540^{\circ})+\frac{2}{3}\sin(720^{\circ}) - \frac{1}{4}\sin(450^{\circ}) + 6\sin(-270^{\circ})

La prima cosa da fare è quella di ridurre gli angoli negli argomenti delle funzioni seno e coseno ad angoli equivalenti compresi tra 0^{\circ} e 360^{\circ}.

In particolare un angolo \alpha della circonferenza goniometrica è equivalente a un angolo \beta compreso tra 0^{\circ} (incluso) e 360^{\circ} (escluso) se i due angoli differiscono di un angolo giro a meno di un multiplo relativo k \in \mathbb{Z}, ossia se

\alpha=\beta+k360^{\circ}

Nel nostro caso:

\\ 540^{\circ}=180^{\circ} + 1 \cdot 360^{\circ} \\ \\ 720^{\circ} = 0^{\circ} + 2 \cdot 360^{\circ} \\ \\ 450^{\circ} = 90^{\circ} + 1 \cdot 360^{\circ} \\ \\ -270^{\circ} = 90^{\circ}-1 \cdot 360^{\circ}

Di conseguenza

\\ \frac{1}{2}\cos(540^{\circ})+\frac{2}{3}\sin(720^{\circ}) - \frac{1}{4}\sin(450^{\circ}) + 6\sin(-270^{\circ}) = \\ \\ \\ = \frac{1}{2}\cos(180^{\circ})+\frac{2}{3}\sin(0^{\circ}) - \frac{1}{4}\sin(90^{\circ}) + 6\sin(90^{\circ})= (\bullet)

Ci siamo ricondotti a un'espressione con valori notevoli delle funzioni goniometriche, che dovremmo conoscere:

- il coseno di 180 gradi è uguale a -1

\cos(180^{\circ})=-1

- il seno di zero gradi è pari a 0

\sin(0^{\circ}) = 0

- il seno di 90 gradi è uguale a 1

\sin(90^{\circ}) = 1

Riprendiamo l'espressione dal punto in cui ci siamo fermati, facciamo le giuste sostituzioni e svolgiamo i calcoli

(\bullet) = \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1 + 6 \cdot 1= \\ \\ \\ = -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+6=\frac{21}{4}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Bustedd, Danni
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Os