Problema sulle funzioni con esponenziali

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Problema sulle funzioni con esponenziali #31401

avt
drago95
Cerchio
Ciao a tutti..
L'ultimo punto di questo problema sulle funzioni esponenziali non riesco a risolverlo e gli altri punti non so se sono giusti..

Me li potete controllare e dire come si risolve l'ultimo punto?

Ecco il problema: è data la funzione :

f(x)=\frac{1-5^{x-1}}{2(2^{x+2}-8)}


a) Determinare il campo di esistenza di f(x).
b) Cerca gli zeri della funzione.
c) Studia il suo segno.
d) Data la funzione g(x)=2^{x}-2, esprimi la funzione y=8f(x)\cdot g(x) e rappresentala graficamente.

Allora per quanto riguarda il punto a) ho posto il denominatore della funzione diverso da zero.
Quindi diventa x diverso da 1.

Per quanto riguarda invece il punto b) ho posto l'intera funzione =0.
Ho tolto il denominatore e ho trovato come risultato finale x=1 che però non è accettabile per il dominio della funzione.
Quindi nella funzione f(x) non ci sono zeri.
Giusto fino a qui?

Per quanto riguarda il punto c) ho posto l'intera funzione >0.
Ho ottenuto due valori..
x<1 e x>1.
Quindi facendo la studio dei segno ottengo che la funzione è impossibile.
Quindi la funzione non sarà mai maggiore di zero, ma minore di zero (come dice il mio libro: f(x)<0 con per ogni x diverso da 1)
Spero che sia giusto... Non so però..

Per quanto riguarda il punto d) invece non so risolvere la moltiplicazione... Lo so che sono un po' imbranato ma con gli esponenziali non ci riesco a capire...


Nell'attesa di una vostra risposta vi ringrazio anticipatamente.
 
 

Re: Problema sulle funzioni con esponenziali #31427

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao drago95 emt

a), b) c) sono corretti! emt

Per la d) devi effettivamente fare il prodotto:

y= 8 (2^x-2)\cdot \frac{1-5^{x-1}}{2(2^{x+2}-8)}

Nota che:

2^{x+2}-8= 2^2 2^x-2^3= 2^2 (2^x-2)

Sostituiamo nella equazione:


y= 8 (2^x-2)\cdot \frac{1-5^{x-1}}{2\cdot 2^2 (2^x-2)}=

Semplifica:

=1-5^{x-1}\quad \forall x\ne 1

La cui rappresentazione è facile da fare (è un grafico elementare traslato).

Attenzione, la funzione può essere prolungata con continuità in 0 ponendo:

y(1)= 0.


=)
Ringraziano: Omega, Pi Greco, drago95

Re: Problema sulle funzioni con esponenziali #31434

avt
drago95
Cerchio
Ciao Ifrit.
Intanto grazie per aver risolto il mio problema...
In che senso la funzione può essere prolungata con continuità in O... ???

Re: Problema sulle funzioni con esponenziali #31440

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ops scusami Drago95, mi sono accorto solo ora che sono nella sezione delle superiori. Cercherò di spiegarlo in parole povere.

Abbiamo ottenuto la funzione:

y(x)= 1-5^{x-1}\quad \forall x\ne 1

La funzione è definita nell'insieme (-\infty, 1)\cup (1, +\infty).

In 1 non ha senso di esistere. Poiché però il limite destro ed il limite sinistro per x che tende a 1 della funzione valgono

\lim_{x\to 1^+}1-5^{x-1}=0

\lim_{x\to 1^-}1-5^{x-1}=0

(sono finiti e uguali!)

allora possiamo costruire un'altra funzione \tilde{y}(x)

così definita:

\tilde{y}(x)= \begin{cases}1-5^{x-1}&\mbox{ se }x\ne 1\\ 0&\mbox{ se }x=1\end{cases}

Questa funzione ha la caratteristica di essere definita e continua ovunque, a differenza di quella precedente che non è definita in x=1.

E' un concetto che incontrerai in seguito probabilmente emt
Ringraziano: Omega, drago95

Re: Problema sulle funzioni con esponenziali #31445

avt
drago95
Cerchio
Ciao Ifrit.
Sono ancora io che ti disturbo...
Non ci sarebbe un modo di risolverlo senza i limiti...??
Perché non li ho ancora fatti..
Siamo arrivati solamente agli esponenziali...
Scusami ancora per il disturbo...

Re: Problema sulle funzioni con esponenziali #31452

avt
Ifrit
Ambasciatore
Aspetta Drago95, il punto d) è stato risolto completamente nel secondo messaggio della discussione emt Il prolungamento continuo a te non interessa (per il momento). emt

La frase

"Attenzione, la funzione può essere prolungata con continuità in 0 ponendo y(1)=0" non è necessaria per la risoluzione emt
Ringraziano: Omega, drago95

Re: Problema sulle funzioni con esponenziali #31458

avt
drago95
Cerchio
Ah.. ok.
Meglio così..
Grazie 1000.
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Os