Equazione goniometrica fratta con coseni e formule trigonometriche

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Equazione goniometrica fratta con coseni e formule trigonometriche #29616

avt
alberto1994
Punto
Ho bisogno di una mano per risolvere un'equazione goniometrica fratta caratterizzata dalla presenza di coseni che non hanno lo stesso argomento. Le ho provate tutte, senza però ottenere i risultati proposti dal libro.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione goniometrica fratta

\frac{1}{\cos(2x)}=1+\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica fratta con coseni e formule trigonometriche #29626

avt
Danni
Sfera
La risoluzione dell'equazione goniometrica fratta proposta richiede alcune formule trigonometriche che consentono di esprimere i vari coseni in maniera differente: l'obiettivo consiste nell'ottenere un'equazione in seno e coseno con lo stesso argomento.

Prima di scrivere i passaggi algebrici per risolvere l'equazione goniometrica

\frac{1}{\cos(2x)}=1+\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}

è necessario impostare innanzitutto le condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero.

Imponiamo che il primo denominatore sia diverso da zero

\cos(2x)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ 2x\ne \frac{\pi}{2}+2k\pi

da cui

x\ne\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Per quanto concerne la non nullità del secondo denominatore, dobbiamo considerare la relazione:

\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\ne 0

da cui

\frac{\pi}{4}-x\ne \frac{\pi}{4}+k\pi\ \ \ \to \ \ \ x\ne -\frac{\pi}{4}-k\pi

dove k\in\mathbb{Z}. Aiutandoci con la circonferenza goniometrica, scopriamo abbastanza facilmente che le condizioni

\\ x\ne\frac{\pi}{4}+k\pi \\ \\ \\ x\ne -\frac{\pi}{4}-k\pi

sono equivalenti tra loro, pertanto possiamo scrivere che l'equazione è ben posta nel momento in cui sussiste la seguente condizione

C.E.: \ x\ne\frac{\pi}{4}+k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Dopo aver determinato le condizioni che definiscono l'insieme di esistenza delle soluzioni, utilizzeremo le opportune formule trigonometriche per semplificare il più possibile i termini dell'equazione.

Grazie alle formule di duplicazione del coseno, possiamo scrivere l'identità

\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)

Inoltre, una volta scomposta la differenza di quadrati, a destra ricaviamo:

\cos(2x)=(\cos(x)+\sin(x))(\cos(x)-\sin(x))

A questo punto, sfruttiamo le formule di addizione e di sottrazione del coseno, che ci permettono di esprimere

\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right) \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)

come segue:

\\ \bullet \ \ \ \cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x) -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x)= \\ \\ \\ = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(x)-\sin(x))

\\ \bullet \ \ \ \cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right) =\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x)=\\ \\ \\ =\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(x)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos(x)+\sin(x))

Sostituendo nell'equazione, \frac{\sqrt{2}}{2} si semplifica, pertanto la relazione da studiare diventa:

\frac{1}{(\cos(x)+\sin(x))(\cos(x)-\sin(x))} = 1 + \frac{\cos(x)-\sin(x)}{\cos(x)+\sin(x)}

Operiamo con il denominatore comune:

\frac{1}{(\cos(x)+\sin(x))(\cos(x)-\sin(x))} =\frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)+(\cos(x)-\sin(x))^2}{(\cos(x)+\sin(x))(\cos(x)-\sin(x))}

Cancelliamo il denominatore comune e sviluppiamo il quadrato

1=\cos^2(x)-\sin^2(x)+\cos^2(x)+\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)

Facciamo intervenire la relazione fondamentale della goniometria così che l'equazione diventi

1=\cos^2(x)-\sin^2(x)+1-2\sin(x)\cos(x)

da cui, sfruttando le formule di duplicazione di seno e coseno leggendole al contrario, ricaviamo

\sin(2x)-\cos(2x)=0 \ \ \ \to \ \ \ \sin(2x)=\cos(2x)

Per \cos(2x)\ne 0, dividiamo i due membri per \cos(2x)

\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}= 1

e sfruttiamo la definizione della tangente così da ricondurci all'equazione goniometrica elementare

\tan(2x)=1

che possiamo risolvere ricordando che la tangente di un angolo è 1 nel momento in cui l'angolo è pari a \frac{\pi}{4}+k\pi con k\in\mathbb{Z}. Questa considerazione consente di scrivere l'equazione nell'incognita x

2x=\frac{\pi}{4}+k\pi

da cui dividendo i due membri per 2

x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}

In definitiva possiamo concludere che l'equazione goniometrica fratta

\frac{1}{\cos(2x)}=1+\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}

è soddisfatta dai valori

x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, alberto1994

Equazione goniometrica fratta con coseni e formule trigonometriche #29653

avt
alberto1994
Punto
Grazie mille!
Ringraziano: Omega, Danni
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Os