Identità goniometrica... qualcuno saprebbe aiutarmi??

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Identità goniometrica... qualcuno saprebbe aiutarmi?? #29276

avt
littlerabb94
Punto
Ciao a tutti, ringrazio in anticipo chiunque per favore potesse aiutarmi a risolvere un esercizio su un'identità goniometrica...

Il testo chiede di verificare la seguente identità trigonometrica (sarebbe un'uguaglianza tra due frazioni):

[senα+cos(2β – α)] / [ cos α - sen(2β – α)] = [1+sen 2β] / [cos2β]

Grazie
 
 

Re: Identità goniometrica... qualcuno saprebbe aiutarmi?? #29305

avt
Omega
Amministratore
Ciao Littlerabb94 emt

L'identità goniometrica di cui chiedi diventa un inferno se si applicano subito sia le formule di sommazione degli angoli sia le formule di duplicazione di seno e coseno (qui sono indicate tutte le formule trigonometriche - click!).

Se invece si ha una piccola intuizione e si decide di ricorrere solamente alle formule di sottrazione degli angoli, senza usare mai le formule di duplicazione, l'identità trigonometrica diventa molto semplice da verificare. Insomma: questa osservazione ti permette di risparmiare una ventina di minuti di calcoli. emt

Non devi fare altro che:

1) Riscrivere

\cos{(2b-a)}=\cos{(2b)}\cos{(a)}+\sin{(2b)}\sin{(a)}

\sin{(2b-a)}=\sin{(2b)}\cos{(a)}-\cos{(2b)}\sin{(a)}

2) Calcolare il denominatore comune, ed eliminare il denominatore.

3) Applicare l'identità fondamentale della trigonometria

\cos^2{(\theta)}+\sin^2{(\theta)}=1

che vale per qualunque angolo \theta. Prova, e fammi sapere. emt
Ringraziano: Pi Greco, littlerabb94

Re: Identità goniometrica... qualcuno saprebbe aiutarmi?? #29327

avt
littlerabb94
Punto
grazie mille per la risposta...
Ringraziano: Omega

Re: Identità goniometrica... qualcuno saprebbe aiutarmi?? #29405

avt
Danni
Sfera
Ellò evribadi emt

Sapete che facciamo? Al primo membro applichiamo le formule di prostaferesi.

Prima convertiamo:

cos(2\beta -\alpha) = sin(90^o + \alpha - 2\beta)

sin(2\beta - \alpha) = cos(90^o + \alpha - 2\beta)

Allora numeratore primo membro:

sin(\alpha) + sin(90^o + \alpha - 2\beta) = 2\cdot sin(\alpha + 45^o - \beta)\cdot cos(\beta - 45^o)

Denominatore primo membro:

cos(\alpha) - cos(90^o + \alpha - 2\beta) = - 2 \cdot sin(\alpha + 45^o - \beta)\cdot sin(\beta - 45^o)

Semplificando la frazione, rimane

\frac{cos(\beta - 45^o)}{- sin(\beta - 45^o)}

Ricordando che il coseno è funzione pari ed il seno è funzione dispari, possiamo scrivere

\frac{cos(45^o - \beta)}{sin(45^o - \beta)}

il che equivale a (formule di sottrazione del coseno e del seno)

\frac{cos(\beta) + sin(\beta)}{cos(\beta) - sin(\beta)}

Ora il secondo membro: applichiamo le formule di duplicazione del seno al numeratore e del coseno al denominatore.

Trasformiamo 1 nell'identità goniometrica fondamentale ed otteniamo al numeratore

cos^2(\beta) + sin^2(\beta) + 2sin(\beta)cos(\beta) = [cos(\beta) + sin(\beta)]^2

Il denominatore dà

cos^2(\beta) - sin^2(\beta) = [cos(\beta) + sin(\beta)]\cdot[cos(\beta) - sin(\beta)]

Semplificando la frazione otteniamo

\frac{cos(\beta) + sin(\beta)}{cos(\beta) - sin(\beta)}


Primo membro = secondo membro
Identità verificata

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, littlerabb94

Re: Identità goniometrica... qualcuno saprebbe aiutarmi?? #29510

avt
littlerabb94
Punto
scusa Danni se non ho ringraziato in tempo.. comunque grazie!!
Ringraziano: Danni

Re: Identità goniometrica... qualcuno saprebbe aiutarmi?? #29512

avt
Danni
Sfera
@ nono, ero io in ritardo con la risposta, ho letto la domanda solo ieri sera emt

Grazie a te, ciao emt
Ringraziano: Omega
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Os