Equazione goniometrica con formule trigonometriche

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Equazione goniometrica con formule trigonometriche #29048

avt
alberto1994
Punto
Dopo svariati tentativi ho deciso di chiedervi aiuto su questa equazione goniometrica in cui vanno usate le formule trigonometriche, a prima vista semplice ma io non riesco a risolverla.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica fratta

\frac{\cos(2x)}{\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica con formule trigonometriche #29061

avt
Omega
Amministratore
Per ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica fratta

\frac{\cos(2x)}{\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1

bisogna innanzitutto imporre le opportune condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori contenenti l'incognita siano diversi da zero.

Analizziamo la non nullità del denominatore

\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\ne 0

da cui, dividendo i due membri per \sqrt{2}

\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\ne 0

Ricordiamo che il coseno di un angolo vale zero nel momento in cui l'angolo è

\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

pertanto dobbiamo richiedere che

\frac{\pi}{4}-x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

da cui

x\ne -\frac{\pi}{4}-k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Una volta determinata la condizione che definisce l'insieme di esistenza delle soluzioni possiamo procedere con i passaggi algebrici: il nostro obiettivo consiste nell'applicare le formule trigonometriche per fare in modo che i termini dell'equazione abbiano il medesimo argomento.

La formula di duplicazione del coseno permette di scrivere l'uguaglianza

\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

mentre la formula di sottrazione del coseno garantisce la veridicità della relazione

\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos(x)+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin(x)=

Tenendo conto della tabella dei valori notevoli delle funzioni trigonometriche otteniamo

=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x)+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)

di conseguenza

\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos(x)+\sin(x)

Infine, sfruttiamo la formula degli archi associati per semplificare il termine \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right):

\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)

Tutte queste relazioni fanno sì che l'equazione si riscriva come

\frac{\cos^2(x)-\sin^2(x)}{\cos(x)+\sin(x)}+\cos(x)=1

Osservando inoltre che \cos^2(x)-\sin^2(x) è una differenza di quadrati, può essere scomposto come prodotto della somma \cos(x)+\sin(x) per la differenza \cos(x)-\sin(x):

\frac{(\cos(x)-\sin(x))(\cos(x)+\sin(x))}{\cos(x)+\sin(x)}+\cos(x)=1

Semplificando \cos(x)+\sin(x), l'equazione diventa

\cos(x)-\sin(x)+\cos(x)=1

ossia

2\cos(x)-\sin(x)=1

Ci siamo ricondotti a un'equazione lineare in seno e coseno che possiamo risolvere utilizzando le formule parametriche.

Per x\ne\pi+2k\pi poniamo

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

ed esprimiamo seno e coseno in termini della tangente di \frac{x}{2}, o per meglio dire di t

\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2} \ \ \ ,\ \ \ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

Operando la sostituzione ci riconduciamo a un'equazione fratta di secondo grado nell'incognita t

2\frac{1-t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{1+t^2}=1

da cui

\frac{2-2t^2-2t-1-t^2}{1+t^2}=0

Moltiplichiamo i due membri per il denominatore comune e scriviamo l'equazione equivalente

3t^2+2t-1=0

Essa è chiaramente un'equazione di secondo grado con coefficienti

a=3\ \ \ , \ \ \ b=2 \ \ \ , \ \ \ c=-1

Per risolverla calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac= 2^2-4\cdot 3\cdot (-1)=4+12=16

Le soluzioni sono quindi

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{6}=\\ \\ \\ =\frac{-2\pm 4}{6}=\begin{cases}\frac{-2-4}{6}=-1=t_1 \\ \\ \frac{-2+4}{6}=\frac{1}{3}=t_2\end{cases}

In definitiva, l'equazione di secondo grado in t ammette due soluzioni

t=-1 \ \ \ \vee \ \ \ t=\frac{1}{3}

dove \vee è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "or".

È giunto il momento di ripristinare l'incognita x: poiché t=\tan\left(\frac{x}{2}\right), la relazione

t=-1

si traduce nell'equazione goniometrica elementare

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=-1

da cui ricaviamo l'equazione di primo grado

\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

soddisfatta dai valori

x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con}\  k\in\mathbb{Z}

La relazione t=\frac{1}{3} si traduce nell'equazione

\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{3}

Purtroppo \frac{1}{3} non è un valore notevole della tangente, pertanto dovremo utilizzare l'arcotangente per ricavare le soluzioni

\frac{x}{2}=\arctan\left(\frac{1}{3}\right)+k\pi

da cui

x=2\arctan\left(\frac{1}{3}\right)+2k\pi

con k libero di variare nell'insieme dei numeri interi.

Possiamo concludere pertanto che l'equazione

\frac{\cos(2x)}{\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1

è soddisfatta dalle famiglie di soluzioni

\\ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi \\ \\ \\ x=2\arctan\left(\frac{1}{3}\right)+2k\pi

con k\in\mathbb{Z}, infatti le due famiglie rispettano la condizione di esistenza per ogni k\in\mathbb{Z}.

Re: Equazione goniometrica con formule trigonometriche #29615

avt
alberto1994
Punto
Grazie mille!
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os