Trasformare la somma di seni e coseni in prodotto...

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Trasformare la somma di seni e coseni in prodotto... #28964

avt
littlerabb94
Punto
Ho un esercizio di Trigonometria che non mi torna, in cui devo trasformare la seguente espressione di seni e coseni in un prodotto:

\sin(a)+\cos(a)+\sin(2a)+\cos(2a)+\sin(3a)+\cos(3a)

Io arrivo ad un certo punto dove ho una somma di prodotti e non so più andare avanti, mi aiutate per favore?
Grazie.
 
 

Re: Trasformare la somma di seni e coseni in prodotto... #29049

avt
Omega
Amministratore
Ciao Littlerabb,

l'idea di partenza consiste nel riscrivere l'espressione

\sin(a)+\cos(a)+\sin(2a)+\cos(2a)+\sin(3a)+\cos(3a)

considerando 3a=2a+a, dunque si può riscrivere l'espressione goniometrica come

\sin{(a)}+\cos{(a)}+\sin{(2a)}+\cos{(2a)}+\sin{(2a+a)}+\cos{(2a+a)}

Ora, per le formule di sommazione per seno e coseno

\\ \sin{(2a+a)}=\sin{(2a)}\cos{(a)}+\cos{(2a)}\sin{(a)}\\ \\ \cos{(2a+a)}=\cos{(2a)}\cos{(a)}-\sin{(2a)}\sin{(a)}

A questo punto raccogliamo e rimettiamo tutto insieme

\sin{(a)}+\cos{(a)}+\sin{(2a)}(1+\cos{(a)}-\sin{(a)})+\cos{(2a)}(1+\sin{(a)}+\cos{(a)})

Formule di duplicazione

\sin{(a)}+\cos{(a)}+2\sin{(a)}\cos{(a)}(1+\cos{(a)}-\sin{(a)})+(\cos^2{(a)}-\sin^2{(a)})(1+\sin{(a)}+\cos{(a)})

Abbreviamo le notazioni, ponendo S:=\sin{(a)},C=\cos{(a)}

S+C+2SC(1+C-S)+(C^2-S^2)(1+S+C)

Facciamo i conti

S+C+2SC+2SC^2-2S^2C+C^2+SC^2+C^3-S^2-S^3-S^2C

A questo punto puoi solo riordinare, non c'è molto altro da fare. Devi tenerti l'espressione così com'è:

S-S^2-3S^2C-S^3+2SC+C+C^2+3SC^2+C^3
Ringraziano: Pi Greco, littlerabb94

Re: Trasformare la somma di seni e coseni in prodotto... #29056

avt
littlerabb94
Punto
Grazie mille!
Ringraziano: Omega

Re: Trasformare la somma di seni e coseni in prodotto... #29089

avt
Danni
Sfera
Ciao Littlerabb,

abbiamo a che fare con una fattorizzazione goniometrica alquanto strana.

Ha ragione Omega, non puoi fattorizzare quella robaccia lì. Sei sicuro dei segni di partenza?

È esatto applicare le formule di duplicazione e secondo me dovresti anche ricordare quelle di triplicazione che sono molto frequenti e che consentono di evitare tutte le volte la formula di addizione per arrivare al risultato.

\\ \sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)\\ \\ \cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)

In questo modi hai facilmente
(uso pure io le abbreviazioni S e C per seno e coseno di x)

4S - 2C + 2SC + C^2 - S^2 + 4(C^3 - S^3)

A questo punto puoi scomporre le differenze di quadrati e di cubi ed effettuare un raccoglimento parziale ma poi sei fermo:

\\ 2(2S - C + SC) + (C + S)(C - S) + 4(C - S)(C^2 + S^2 + CS) =\\ \\ = 2(2S - C + SC) + (C - S)(C + S + 4 + 4SC)

Mi pare proprio che non ci sia altro da fare.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os