Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica

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Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica #22046

avt
Satiro
Frattale
Ciao! Vorrei capire come calcolare i principali valori delle funzioni goniometriche (quelli più importanti) usando la circonferenza goniometrica.

Io ho sempre imparato a memoria gli angoli più importanti ad esempio che coseno di 30° è "radice di 3 su 2" ma non so bene come arrivare a questi valori, so che ci si può arrivare mediante la circonferenza goniometrica di raggio unitario (che rappresenta la nostra ipotenusa).

Se ad esempio volessi calcolare di mio pugno il coseno e poi il seno di 30° mediante la circonferenza goniometrica?

Grazie mille, scusate la banalità
 
 

Re: Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica #22063

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao Satiro emt

E' spiegato tutto nella lezione in cui esponiamo le definizioni di seno e coseno di un angolo.

Il valore del seno e del coseno per \theta= 30^o segue dalla definizione che diamo alle funzioni trigonometriche. Andiamo con ordine. Per prima cosa disegna una circonferenza goniometrica (cioè una circonferenza di raggio 1 e centro (0,0)) partendo dal semiasse positivo delle X traccia un angolo con vertice in O=(0,0), il secondo lato dell'angolo intercetterà la circonferenza in un punto che chiamiamo A. Tracciamo la retta passante per A perpendicolare all'asse X. Chiamiamo C il punto di intersezione tra l'asse X e la perpendicolare di cui sopra. Quello che otterremo è un triangolo rettangolo OAC, retto in C.

Poiché l'angolo in O è di trenta gradi necessariamente si ha che l'angolo in A sia di 60 gradi.

senocoseno


Nota che per costruzione il segmento

OA=1

Inoltre per definizione di seno e coseno:

\sin(30^o)= AC

\cos(30^o)= OC

Ti faccio notare che per il teorema di Pitagora:

AC^2+OC^2=OA^2\iff \sin^2(30^o)+\cos^2(30^o)= 1

ma ancora questo non risolve il problema :/, ci facciamo aiutare ancora un po' dalla geometria emt

Costruiamo il simmetrico de triangolo rettangolo OAC rispetto all'asse delle X, otterremo:

senocoseno2


Il triangolo OAD è per costruzione un triangolo equilatero (ha tutti gli angolo di sessanta gradi), pertanto:

OA=AD= OD=1

Inoltre, sempre per costruzione:

AC= \frac{AD}{2}= \frac{1}{2}

Ma AC=\sin(30^o)

di conseguenza:

\sin(30^o)= \frac{1}{2}

Dalla relazione:

\sin^2(30^o)+\cos^2(30^o)= 1

segue che:

\cos^2(30^o)= 1-\sin^2(30^o)= 1-\frac{1}{4}= \frac{3}{4}

Estraendo membro a membro la radice quadrata:

\cos(30^o)= \pm\frac{\sqrt{3}}{2}

Poiché stiamo lavorando con quantità positive allora dobbiamo escludere la soluzione negativa emt

\cos(30^o)=\frac{\sqrt{3}}{2}
Ringraziano: Omega, Pi Greco, MarcoSau

Re: Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica #22067

avt
Satiro
Frattale
Grazie mille emt

quando cambierebbe se fosse 60? :\ ho provato a fare lo stesso ragionamento ma colmo dei colmi sbagliando il seno mi viene il coseno di 60 :\

Ho provato a fare la stessa cosa e invece di un triangolo equilatero viene un triangolo isoscele con gli angoli di 120 30 30,immaginando la disposizione delle lettere nello stesso modo di quello di prima:

io ho che oa=od=1
so che ac e oc sono rispettivamente sen\theta e cos\theta

sapendo che oa e od =1 allora ad^2 = 2

a questo punto ho fatto come prima dicendo che ac=ad/2 e da li il radice di 2 su due..... :(

Re: Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica #22069

avt
Ifrit
Amministratore
Aspetta, meglio mettere in chiaro che quello che ho scritto prima vale per l'angolo di 30 gradi emt

Per l'angolo di sessanta:

Disegna la circonferenza goniometrica, partendo dal semiasse positivo delle X traccia un angolo con vertice in O=(0,0), il secondo lato dell'angolo intercetterà la circonferenza in un punto che chiamiamo A. Tracciamo la retta passante per A perpendicolare all'asse X. Chiamiamo B il punto di intersezione tra l'asse X e la perpendicolare di cui sopra. Quello che otterremo è un triangolo rettangolo , retto in B (copia e incolla che magnifica invenzione!!)


senocoseno3



Abbiamo quindi che:

OA=1

AB=\sin(60^o)

OB=\cos(60^o)

Sempre per il teorema di Pitagora:

OB^2+AB^2= OA^2\iff \sin^2(60^o)+\cos^2(60^o)= 1

A questo punto costruiamo il simmetrico del triangolo rettangolo ABO rispetto alla retta passante per AB.

senocoseno4


In questo modo otterremo un triangolo equilatero AOD di lato 1. Il segmento AB è l'altezza del triangolo OAD, possiamo determinare la lunghezza attraverso le formule associate al triangolo equilatero. E' noto infatti che nel triangolo equilatero di lato \ell si ha che:

h=\sqrt{\ell^2-\frac{\ell^2}{4}}= \frac{\sqrt{3}}{2}\ell (conseguenza del teorema di Pitagora)

Nel nostro caso il lato è 1 quindi:

AB=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin(60^o)

Dalla relazione

\sin^2(60^o)+\cos^2(60^o)= 1

Otteniamo:

\cos(60^o)= \pm\sqrt{1-\sin^2(60^o)}= \pm\sqrt{1-\frac{3}{4}}=

=\pm \frac{1}{2}

Anche in questo caso stiamo lavorando con valori positivi quindi la soluzione negativa è da scartare emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Re: Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica #22070

avt
Satiro
Frattale
ok grazie,ma quindi come tecnica cerca e distruggi bisogna sempre ottenere un triangolo equilatero?

Re: Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica #22073

avt
Ifrit
Amministratore
No emt

Prova da solo a dimostrare che:

\sin(45^o)= \frac{\sqrt{2}}{2}= \cos(45^o)

In questo caso non abbiamo triangoli equilateri, ma un bel triangolo isoscele rettangolo.(Nel caso non ci riuscissi sai cosa fare)
Puoi ben comprendere che non possiamo determinare i valori del seno e del coseno di tutti gli angoli attraverso considerazioni geometriche come le precedenti emt
Ringraziano: Omega

Re: Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica #22184

avt
Satiro
Frattale
forse sono riuscito emt anzichè fare un triangolo equilatero ho ricavato un quadrato facendo quattro triangolini simmetrici,è bastato trovare la diagonale e da li "mezza diagonale" corrisponde sia al seno che al coseno emt
Ringraziano: Ifrit

Re: Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica #22191

avt
Ifrit
Amministratore
Se hai fatto come penso che hai fatto allora è corretto! emt Io però non avrei preso in considerazione l'intero quadrato emt. Avrei considerato il triangolo rettangolo isoscele (quello che ottieni considerando metà quadrato) con lati di lunghezza 1. Con il teorema di Pitagora ottieni sia il seno che il coseno emt
Ringraziano: Omega

Re: Calcolo seno e coseno mediante circonferenza goniometrica #22196

avt
Satiro
Frattale
ah beh si è vero! forse con l'immagine del quadrato mi viene ancora più spontaneo capire perchè sono uguali,comunque grazie emt
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Os