Esercizio su parabola, circonferenza e tangenti, Trigonometria applicata alla Geometria Analitica

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Esercizio su parabola, circonferenza e tangenti, Trigonometria applicata alla Geometria Analitica #21322

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti, mi aiutereste con un problema di Trigonometria applicata alla Geometria Analitica? Il problema riguarda una parabola, il testo è questo:

data la parabola di equazione y=(2/3)x^2-23/3, si determinino:

1) l'equazione della tangente alla curva nel suo punto A di ascissa 1

2) l'equazione della circonferenza con centro nell'origine degli assi,tangente alla stessa retta, e le coordinate del punto B di contatto con la tangente...

3) le coordinate dei punti comuni alle due curve

4) la misura del perimetro del triangolo limitato dalla tangente considerata,dalla sua simmetrica rispetto all'asse delle y e dalla tangente alla circonferenza nel suo punto C d'intersezione col semiasse positivo delle y

5) la tangente trigonometrica dell'angolo ACB

Allora io ho già risolto i primi 2 punti quindi si ha che la tangente ha equazione y=(4/3)x-25/3 ; A(1;-7) e la circonferenza è x^2+y^2=25.

Potreste aiutarmi a risolvere il resto dell'esercizio?

grazieeeeeeeeee!!!
 
 

Re: Esercizio su parabola, circonferenza e tangenti, Trigonometria applicata alla Geometria Analitica #21436

avt
Danni
Sfera
Ciao Johnny, il problema è molto lungo e te lo mando... a pezzi emt

Tutto giusto fino a dove hai risolto.
Per calcolare le coordinate di B impostiamo un sistema utilizzando le equazioni della tangente e della normale (perpendicolare alla tangente in B)
La normale ha coefficiente angolare antireciproco rispetto alla tangente e passa per l'origine (vedi rette perpendicolari). La sua equazione è

3x + 4y = 0

\begin{cases}{4x - 3y - 25} = 0 \\ {3x + 4y = 0}\end{cases}

che risolto dà

B(4;-3)

Ora determiniamo le coordinate dei punti di intersezione delle due curve:

\begin{cases}x^{2} = \frac{3y + 23}{2} \\ x^{2} + y^{2} = 25\end{cases}

Risolviamo l'equazione di secondo grado in y ed otteniamo

y_{1} = - 9/2 \cup y_{2} = 3

I punti hanno quindi coordinate

\pm \frac{\sqrt{19}}{2};- \frac{9}{2}

\pm4;3

Tu fatti questi calcolini che sono facili. Il seguito arriva fra poco emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, JohnnyR

Re: Esercizio su parabola, circonferenza e tangenti, Trigonometria applicata alla Geometria Analitica #21451

avt
Danni
Sfera
Seconda puntata emt

La tangente considerata ha equazione

4x - 3y - 25 = 0

La simmetrica rispetto all'asse y ha equazione

4x + 3y + 25 = 0

(per la simmetria rispetto all'asse y è sufficiente imporre x = - x)

Essendo simmetriche rispetto all'asse y, le due rette si intersecano in P

xP = 0

yP = - \frac{25}{3}

P(0;-\frac{25}{3})

La circonferenza interseca l'asse y in \;(0;5)\;

La tangente alla circonferenza per il punto considerato ha equazione

y = 5

Le prime due tangenti intersecano quest'ultima tangente in

M(10;5) \cup N(-10;5)

La base MN del triangolo isoscele MNP misura

\overline{MN} = 20

Calcoli la misura di PM con la formula della distanza tra due punti e quindi il perimetro del triangolo.

Continua...
Ringraziano: Pi Greco, JohnnyR

Re: Esercizio su parabola, circonferenza e tangenti, Trigonometria applicata alla Geometria Analitica #21463

avt
Danni
Sfera
Terza ed ultima puntata.

Si richiede il calcolo della tangente goniometrica dell'angolo ACB
Se si intende l'angolo acuto ACB, la tangente è positiva.

Il coefficiente angolare della retta BC è dato da

m(BC) = \frac{yC - yB}{xC - xB} = \frac{8}{-4} = - 2

Coefficiente angolare di AC

m(AC) = \frac{yC - yA}{xC - xA} = \frac{12}{-1} = - 12

Se diciamo

\widehat{ACB} = \gamma

risulta

tan(\gamma) = \frac{m - m'}{1 + mm'} = \frac{-2 + 12}{1 + 24} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}

Ciao* emt
Ringraziano: Pi Greco, JohnnyR

Re: Esercizio su parabola, circonferenza e tangenti, Trigonometria applicata alla Geometria Analitica #21466

avt
JohnnyR
Cerchio
Credimi nn so come ringraziarti!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ringraziano: Pi Greco, Danni

Re: Esercizio su parabola, circonferenza e tangenti, Trigonometria applicata alla Geometria Analitica #21468

avt
Danni
Sfera
Ma scherzi, è stato un piacere, ciao emt
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Os