Equazioni trigonometriche omogenee

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Equazioni trigonometriche omogenee #21252

avt
silvia18
Banned
Ciao ragazzi.

Ho 2 problemi con le equazioni trigonometriche omogenee e non so come risolverle. Spero che mi aiutate con queste equazioni omogenee, vi ringrazio emt

Prima equazione trigonometrica

-sqrt(3) cos^2(x) + sin^2(x) +(sqrt{3}-1)sin(x)cos(x) =0

Soluzioni dell'equazione: pi/4 + kpi; -pi/3+kpi

Seconda equazione trigonometrica

sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - 2 cos^2(x) = 1

Soluzioni: pi/2+kpi; pi/4+kpi
 
 

Equazioni trigonometriche omogenee #21254

avt
Danni
Sfera
Ciao Silvia18 emt

Per la prima equazione effettuiamo i prodotti ed otteniamo

sin^{2}(x) - cos^{2}(x)\sqrt{3} + sin(x)cos(x)\sqrt{3} - sin(x) cos(x) = 0

Ora raccogliamo a fattore comune parziale:

sin(x)[sin(x) + cos(x)\sqrt{3}] - cos(x)[sin(x) + cos(x)\sqrt{3}] = 0

Mettiamo in evidenza il fattore comune:

[sin(x) + cos(x)\sqrt{3}][sin(x) - cos(x)] = 0

Ora applichiamo la legge di annullamento del prodotto uguagliando a 0 ogni fattore:

a) \; sin(x) + cos(x)\sqrt{3} = 0

Imponiamo

x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

e dividiamo per \;cos(x) ottenendo

tan(x) = - \sqrt{3}

La tangente è negativa nel II e IV quadrante, quindi

x = - \frac{\pi}{3} + k\pi

b) \; sin(x) - cos(x) = 0

Dividiamo ancora per \;cos(x)

ed otteniamo

tan(x) = 1

Positività nel I e III quadrante, quindi

x = \frac{\pi}{4} + k\pi

Per il secondo esercizio ricordiamo la relazione fondamentale

sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1

e scriviamo

2) \; sin^{2}(x) + 3sin(x)cos(x) - 2cos^{2}(x) = sin^{2}(x) + cos^{2}(x)

ovvero

3cos^{2}(x) - 3sin(x)cos(x) = 0

Trascurando la costante 3 che è ininfluente e mettendo in evidenza il fattore comune, risulta:

cos(x)[sen(x) - cos(x)] = 0

Per la legge di annullamento del prodotto:

a)\; cos(x) = 0

x = \frac{\pi}{2} + k\pi

La seconda equazione

sin(x) - cos(x) = 0

è la stessa dell'esercizio precedente, lettera b) ed è verificata per

x = \frac{\pi}{4} + k\pi

ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, silvia18
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Os