Problema con trapezio rettangolo e relazioni trigonometriche tra lati e angoli

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Problema con trapezio rettangolo e relazioni trigonometriche tra lati e angoli #20326

avt
JohnnyR
Cerchio
ciao a tutti...mi aiutereste a risolvere questo problema sulle relazioni trigonometriche tra lati e angoli con un trapezio rettangolo?

In un trapezio ABCD, rettangolo in B e in C, la base minore è AB e le diagonali sono tra loro perpendicolari. la diagonale CA è divisa dall'altra diagonale in due parti che hanno misura 1 e 4. Si determini la misura del lato obliquo AD.

Verificare che la somma delle tre tangenti degli angoli del triangolo BAD è uguale al loro prodotto....

Grazieeeeeeeeee

Risultato: AD=radq65
 
 

Re: Problema con trapezio rettangolo e relazioni trigonometriche tra lati e angoli #20402

avt
Danni
Sfera
Ciao Johnny, questa sera ce la caviamo con i teoremi di Euclide, almeno per la prima parte. Sistemiamo le lettere in senso antiorario:

trapezio rettangolo (click per le formule) ABCD con AB base minore, CD base maggiore, DC lato perpendicolare alle basi, AD lato obliquo.

Indica con H l'intersezione delle diagonali. Risulta:

\overline{CH} = 4

\overline{AH} = 1

Nel triangolo rettangolo ABC, BH è l'altezza relativa all'ipotenusa AC

Secondo teorema di Euclide:

\overline{BH} = \sqrt{{CH} \cdot {AH}} = \sqrt{4} = 2

Primo teorema di Euclide:

\overline{BC} = \sqrt{CA \cdot CH} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}

\overline{BA} = \sqrt{CA \cdot AH} = \sqrt{5}

Primo teorema di Euclide sul triangolo rettangolo BCD:

\overline{BD} = \frac {\overline{BC^{2}}}{BH}} = \frac{20}{2} = 10

\overline{HD} = \overline{BD} - \overline{BH} = 10 - 2 = 8}

Teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo AHD:

\overline{AD} = \sqrt{AH^{2} + HD^{2}} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}

Ora diciamo gli angoli del triangolo BAD

\alpha ;\beta ;\delta

(le lettere greche corrispondono ad A, B, D)

Già nel triangolo rettangolo AOB possiamo calcolare, grazie ai teoremi goniometrici sui triangoli rettangoli

sen(\beta) = \frac{\overline{AH}}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}}

ed anche

tan(\beta) = \frac{\overline{AH}}{BH} = \frac{1}{2}

Nel triangolo rettangolo AHD:

sen(\delta) = \frac {\overline{AH}}{AD} = \frac{1}{\sqrt{65} }

tan(\delta) = \frac{\overline{AH}}{HD} = \frac{1}{8}

Ora, con il teorema dei seni sul triangolo BAD:

\frac{\overline{BD}}{sen(\alpha)} = \frac{\overline{AB}}{sen(\delta)}

sen(\alpha) = \frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{1}{\sqrt{65}} = \frac{2}{\sqrt{13}}

Calcoliamo \;cos(\alpha)\;

ricordando che \;\alpha \; è un angolo ottuso:

cos(\alpha) = - \sqrt{1 - sen^{2}(\alpha)} = - \sqrt{ \frac{9}{13}} = - \frac{3}{\sqrt{13}}

tan(\alpha) = \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)} = - \frac{2}{3}

Quindi:

tan(\alpha)} = - \frac{2}{3}

tan(\beta) = \frac{1}{2}

tan(\delta) = \frac{1}{8}

Somma:

{- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{- 16 + 12 + 3}{24} = - \frac{1}{24}

Prodotto:

 (-\frac{2}{3})\cdot {\frac{1}{2} \cdot {\frac{1}{8}} = - \frac{1}{24}

e ci siamo. Ora emt , ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
  • Pagina:
  • 1
Os