Perimetro di un quadrilatero inscritto in una circonferenza, problema di Trigonometria

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Perimetro di un quadrilatero inscritto in una circonferenza, problema di Trigonometria #20183

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti emt gentilmente potreste aiutarmi con questo problema su un quadrilatero inscritto in una circonferenza, da risolvere con le formule trigonometriche?

In una circonferenza di raggio r è data la corda AB di lunghezza r radq3.
Condurre per A due semirette che formino con AB angoli e congruenti e tali che, indicate con D e C le loro intersezioni con la circonferenza data, il perimetro del quadrilatero ACBD sia 5r.

Il risultato è: CAD= 60°...Grazieee! emt
 
 

Perimetro di un quadrilatero inscritto in una circonferenza, problema di Trigonometria #20198

avt
Danni
Sfera
Ciao Johnny emt

Cominciamo ad individuare le ampiezze degli angoli:

\widehat{ACB} = 120^{o}

\widehat{ADB} = 60^{o}

\widehat{CAB} = \widehat{BAD} = x

\widehat{CBA} = 60^{o} - x}

\widehat{ABD} = 120^{o} - x

con

0^{o} < x < 60^{o}

Ora determiniamo le misure dei lati applicando il teorema della corda per ciascuno di essi:

BC = BD = 2r\cdot sen(x)

AC = 2r\cdot sen(60^{o}- x)

AD = 2r\cdot sen(120^{o} - x)

Impostiamo la relazione data dal perimetro del quadrilatero ACBD:

2[2sen(x) + sen(60^{o} - x) + sen(120^{o} - x)] = 5

2[2sen(x) + \frac {\sqrt{3}}{2}cos(x)- \frac{1}{2}sen(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}cos(x) + \frac{1}{2}sen(x)] = 5

4sen(x) + 2\sqrt{3}cos(x) = 5

Applichiamo le formule parametriche trigonometriche

tan(x/2) = t

8t + 2\sqrt{3}(1 - t^{2}) = 5(1 + t^{2})

(5 + 2\sqrt{3})t^{2} - 8t + 5 - 2\sqrt{3} = 0

\Delta /4 = 16 - (5 + 2\sqrt{3})(5 - 2\sqrt{3}) = 16 - 13 = 3

t = \frac{4 \pm {\sqrt{3}}}{5 + 2\sqrt{3}}

Delle due soluzioni scartiamo la maggiore perché porta ad un angolo la cui ampiezza supera le limitazioni ed è quindi

t = \frac{4 - {\sqrt{3}}}{5 + 2\sqrt{3}}

Razionalizziamo ed otteniamo

\frac{(4 - \sqrt{3})(5 - 2\sqrt{3})}{13} = 2 - \sqrt{3}

che equivale alla tangente di 15°

Risulta allora

\widehat{CAB} = x = 30^{o}

\widehat{CAD} = 2x = 60^{o}

ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit

Perimetro di un quadrilatero inscritto in una circonferenza, problema di Trigonometria #20209

avt
JohnnyR
Cerchio
una sola domanda!perchè ACB=120???
Ringraziano: Danni

Perimetro di un quadrilatero inscritto in una circonferenza, problema di Trigonometria #20211

avt
Omega
Amministratore
[Mod] Già che ripasso di qui, ringrazio Danni emt e modifico il titolo " ciao aiuto con un problema di trigonometria;)" sostituendolo con quello attuale [/Mod]
Ringraziano: Danni

Perimetro di un quadrilatero inscritto in una circonferenza, problema di Trigonometria #20213

avt
Danni
Sfera
@ Perché AB è il lato del triangolo equilatero inscritto.
Ogni angolo AD^B con il vertice D^ sul maggiore dei due archi AB misura 60°
Dunque AC^B che è supplementare di AD^B misura 120°

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, JohnnyR

Perimetro di un quadrilatero inscritto in una circonferenza, problema di Trigonometria #20215

avt
JohnnyR
Cerchio
ti ringrazio di cuore mi hai salvato!
Ringraziano: Danni

Perimetro di un quadrilatero inscritto in una circonferenza, problema di Trigonometria #20216

avt
Danni
Sfera
Ma di nulla, grazie a te, ciao* emt
Ringraziano: Omega, Ifrit
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Os