Equazioni da risolvere applicando le relazioni goniometriche sugli angoli associati

Mi sono capitate due equazioni da risolvere applicando le relazioni goniometriche sugli angoli associati, spero che mi possiate aiutare.

(a) Determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica



Soluzioni:


(b) Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione goniometrica in seno e coseno



Soluzioni:

Grazie.

Prima di iniziare, ti consiglio un ripassino sulla lezione dedicata alle equazioni goniometriche.


Equazione (a)

Consideriamo l'equazione goniometrica in seno e coseno



Purtroppo essa non è espressa ancora in alcuna forma normale: non abbiamo un confronto tra seni, né un confronto tra coseni, inoltre gli argomenti non sono uguali.

Possiamo far intervenire le relazioni sugli angoli associati con cui è possibile trasformare il seno in coseno: basta utilizzare la relazione



grazie alla quale possiamo scrivere l'identità



Questa relazione ci permette di rielaborare l'equazione data in modo che compaiano esclusivamente coseni



In termini più espliciti, siamo riusciti a ricondurci a un'equazione goniometrica risolvibile per confronto.

Per calcolarne le soluzioni bisogna ricordare che due angoli hanno lo stesso coseno se e solo se differiscono di un numero intero di angoli giri oppure se il primo differisce dall'opposto del secondo per un numero intero di angoli giri.

Siamo autorizzati quindi a considerare le due equazioni nell'incognita :



e



La prima è un'equazione impossibile, infatti non ammette soluzioni nell'incognita . Per quanto riguarda la seconda equazione, ossia



possiamo isolare l'incognita al primo membro



Infine, per ottenere l'ampiezza dell'arco , dividi entrambi i membri per 2:



Riassumendo: l'equazione goniometrica



è soddisfatta dalla famiglia di soluzioni



dove è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.


Equazione (b)

Il nostro obiettivo è quello di determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica in seno e coseno



Essa però non è espressa ancora in forma normale, inoltre seno e coseno non hanno il medesimo argomento.

Il trucco consiste nell'esprimere il seno in termini di coseno avvalendoci della formula degli angoli associati



con cui otteniamo l'identità



vale a dire



Inoltre sussiste la relazione



Le due identità consentono di rielaborare l'equazione nella forma:



A questo punto bisogna ricordare che due angoli hanno lo stesso coseno se e solo se differiscono di un numero intero di angoli giri, oppure il primo differisce dall'opposto del secondo per un numero intero di angoli giri.

Questa considerazione permette di scrivere le due equazioni di primo grado nell'incognita



e



La prima è impossibile, infatti se sommiamo tra loro i termini simili, l'incognita sparisce. In buona sostanza otteniamo un'equazione priva di incognite che non può essere mai soddisfatta.

Per quanto concerne la seconda equazione



isoliamo l'incognita al primo membro



A questo punto dividiamo entrambi i membri per 2 ottenendo la famiglia di soluzioni:



Volendo possiamo dividere per 2, ed esprimere l'angolo in forma normale:



Abbiamo finito.