Equazioni da risolvere applicando le relazioni goniometriche sugli angoli associati

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Equazioni da risolvere applicando le relazioni goniometriche sugli angoli associati #19926

avt
silvia18
Banned
Mi sono capitate due equazioni da risolvere applicando le relazioni goniometriche sugli angoli associati, spero che mi possiate aiutare.

(a) Determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)

Soluzioni: x=\frac{7}{16}\pi+k\pi


(b) Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione goniometrica in seno e coseno

-\cos(x)=\sin(x-15^\circ)

Soluzioni: x=142^{\circ}30'+k\180^{\circ}

Grazie.
 
 

Equazioni da risolvere applicando le relazioni goniometriche sugli angoli associati #19945

avt
Danni
Sfera
Prima di iniziare, ti consiglio un ripassino sulla lezione dedicata alle equazioni goniometriche.


Equazione (a)

Consideriamo l'equazione goniometrica in seno e coseno

\sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)

Purtroppo essa non è espressa ancora in alcuna forma normale: non abbiamo un confronto tra seni, né un confronto tra coseni, inoltre gli argomenti non sono uguali.

Possiamo far intervenire le relazioni sugli angoli associati con cui è possibile trasformare il seno in coseno: basta utilizzare la relazione

\sin(\alpha)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)

grazie alla quale possiamo scrivere l'identità

\\ \sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}-x\right) = \\ \\ \\ =\cos\left(\frac{5}{8}\pi-x\right)

Questa relazione ci permette di rielaborare l'equazione data in modo che compaiano esclusivamente coseni

\cos\left(\frac{5}{8}\pi-x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)

In termini più espliciti, siamo riusciti a ricondurci a un'equazione goniometrica risolvibile per confronto.

Per calcolarne le soluzioni bisogna ricordare che due angoli hanno lo stesso coseno se e solo se differiscono di un numero intero di angoli giri oppure se il primo differisce dall'opposto del secondo per un numero intero di angoli giri.

Siamo autorizzati quindi a considerare le due equazioni nell'incognita x:

\frac{5}{8}\pi-x=\frac{\pi}{4}-x+2k\pi

e

\frac{5}{8}\pi-x =-\frac{\pi}{4}+x+2k\pi

La prima è un'equazione impossibile, infatti non ammette soluzioni nell'incognita x. Per quanto riguarda la seconda equazione, ossia

\frac{5}{8}\pi-x =-\frac{\pi}{4}+x+2k\pi

possiamo isolare l'incognita al primo membro

\\ -2x=-\frac{5\pi}{8} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \\ \\ \\ 2x = \frac{7\pi}{8}-2k\pi

Infine, per ottenere l'ampiezza dell'arco x, dividi entrambi i membri per 2:

x=\frac{7\pi}{16}-k\pi

Riassumendo: l'equazione goniometrica

\sin\left(x-\frac{\pi}{8}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)

è soddisfatta dalla famiglia di soluzioni

x=\frac{7\pi}{16}-k\pi

dove k è libero di variare nell'insieme dei numeri interi.


Equazione (b)

Il nostro obiettivo è quello di determinare le soluzioni dell'equazione goniometrica in seno e coseno

-\cos(x)=\sin(x-15^{\circ})

Essa però non è espressa ancora in forma normale, inoltre seno e coseno non hanno il medesimo argomento.

Il trucco consiste nell'esprimere il seno in termini di coseno avvalendoci della formula degli angoli associati

\sin(\alpha)=\cos\left(90^{\circ}-\alpha) \ \ \ \forall \ \alpha\in\mathbb{R}

con cui otteniamo l'identità

\sin(x-15^{\circ})=\cos(90^{\circ}+15^{\circ}-x)

vale a dire

\sin(x-15^{\circ})=\cos(105^{\circ}-x)

Inoltre sussiste la relazione

-\cos(x)=\cos(180^{\circ}-x) \ \ \ \forall \ x\in\mathbb{R}

Le due identità consentono di rielaborare l'equazione nella forma:

\cos(180^{\circ}-x)=\cos(105^{\circ}-x)

A questo punto bisogna ricordare che due angoli hanno lo stesso coseno se e solo se differiscono di un numero intero di angoli giri, oppure il primo differisce dall'opposto del secondo per un numero intero di angoli giri.

Questa considerazione permette di scrivere le due equazioni di primo grado nell'incognita x

180^{\circ}-x= 105^{\circ}-x + k360^{\circ}

e

180^{\circ}-x= - 105^{\circ}+x+k360^{\circ}

La prima è impossibile, infatti se sommiamo tra loro i termini simili, l'incognita sparisce. In buona sostanza otteniamo un'equazione priva di incognite che non può essere mai soddisfatta.

Per quanto concerne la seconda equazione

180^{\circ}-x= - 105^{\circ}+x+k360^{\circ}

isoliamo l'incognita al primo membro

\\ -2x=-180^{\circ}-105^{\circ}+k360^{\circ} \\ \\ -2x=-285^{\circ}+k360^{\circ} \\ \\ 2x=285^{\circ}-k360^{\circ}

A questo punto dividiamo entrambi i membri per 2 ottenendo la famiglia di soluzioni:

x=\frac{285^{\circ}}{2}-k180^{\circ}

Volendo possiamo dividere 285^{\circ} per 2, ed esprimere l'angolo in forma normale:

\frac{285^{\circ}}{2}=142^{\circ} 30'

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Ifrit, silvia18
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Os