Problema di trigonometria con un trapezio isoscele

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Problema di trigonometria con un trapezio isoscele #19509

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti!

Potreste aiutarmi a risolvere questo problema di trigonometria con un trapezio isoscele? Grazie!

E' dato il trapezio isoscele ABCD di cui si conosce la base maggiore AB= 3a, la base minore CD=sqrt(3)a e i lati obliqui BC=AD=sqrt(6)a.

Dopo aver osservato che ABCD è un quadrilatero inscritto in un circonferenza, determinare gli angoli, le diagonali e il diametro della circonferenza.

[Soluzioni: 75° ; 105° ; AC=BD=sqrt(6)(radq3 +1)/2 ; 2sqrt(3)]

Grazie! emt
 
 

Problema di trigonometria con un trapezio isoscele #19542

avt
Danni
Sfera
Ciao Johnny emt

La prima richiesta è alquanto strana, un trapezio isoscele è sempre inscrittibile in una circonferenza.

Traccia l'altezza DH, e considera i teoremi della Trigonometria per triangoli rettangoli. Risulta:

AH = \frac{AB - DC}{2} = \frac{a(3 - \sqrt{3})}{2} = \frac{a\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2}}

Se diciamo \alpha uno degli angoli alla base maggiore, risulta

cos(\alpha) = \frac{AH}{AD} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac {\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)}{4} = \frac {\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}

che è il coseno di 75°.

Gli angoli alla base maggiore sono ampi 75°, i loro supplementari alla base minore misurano 105°.

*****

Risulta

DH = AHtan\alpha = \frac{(3 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{2}a = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}a

HB = AB - AH = 3a - \frac{3 - \sqrt{3}}{2}a = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}a

Il triangolo rettangolo DHB è isoscele sull'ipotenusa BD, quindi

BD = \frac{HB}{cos(45^{o})} = \frac {2a {\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}}{2\sqrt{2}}

AC = BD = \frac {a\sqrt{6}(\sqrt{3} + 1)}{2}

*****

Diciamo O il centro della circonferenza, AO il raggio e Ok il segmento di perpendicolare portato da O ad AB

\widehat{OAK} = 75^{o} - 45^{o} = 30^{o}

Poiché AK = AB/2 = 3a/2

risulta

AO = \frac{3a}{2}* \frac{2}{\sqrt{3}} = a\sqrt{3}

Diametro = 2*AO = 2a\sqrt{3}

Ciao* emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, JohnnyR
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