Area di un trapezio rettangolo, problema di Trigonometria

Ciao ciao, come richiesto, apro un nuovo topic per il secondo problema di Trigonometria sul calcolo dell'area di un trapezio rettangolo, grazie mille per l'aiuto...

Calcolare l'area di un trapezio rettangolo sapendo che la base maggiore misura 30 cm , l'altezza 16 cm e la diagonale maggiore è bisettrice dell'angolo formato dalla base maggiore e il lato obliquo."

Grazie,

Gianluca.

Ciao Gianluca*

Disegnino accurato: trapezio rettangolo ABCD con
base maggiore AB = 30 cm
altezza AD = 16 cm
Ne consegue diagonale maggiore = 34 cm (teorema di Pitagora)

Indichiamo AB^D = x°. Di conseguenza

AD^B = 90° - x°

quindi BD^C = x° (angolo complementare di AD^B in AD^C)

Poiché per ipotesi è AB^D = DB^C, per transitività risulta DB^C = BD^C e CDB è un triangolo isoscele sulla base BD.

Abbiamo quindi

BC = DC
DB^C = BD^C = x°
DC^B = 180° - 2x°

Nel triangolo rettangolo DAB possiamo usare le formule trigonometriche per i triangoli rettangoli
AB = DB*cos(x°)

da cui cos(x°) = AB/DB = 30/34 = 15/17

Nel triangolo CDB è DC^B = 180° - 2x°.

Applichiamo il teorema dei seni:

DC/senx° = BD/sen(180° - 2x°)

Per le formule degli angoli associati sen(180° - α) = sen(α) risulta

DC/senx° = BD/sen(2x°)

Per una nota formula di duplicazione sen(2α) = 2sen(α)cos(α), la relazione diventa

DC/sen(x°) = BD/2sen(x°)(cosx°)

che possiamo sicuramente semplificare in

DC = BD/2cos(x°)

DC = 34/[2(15/17)] = 289/15

Ora hai tutti i dati per calcolare l'area del trapezio rettangolo

base maggiore AB = 30 cm
base minore DC = (289/15) cm ≈ 19,27 cm
altezza = 16 cm

Ciao*

Perfetto, non avevo ben capito questa parte

Poiché per ipotesi è
AB^D = DB^C,
per transitività risulta
DB^C = BD^C
e il triangolo CDB è isoscele sulla base BD


Ma pensandoci bene, visto che l'angolo in D del trapezio rettangolo è di 90 gradi, mentre se guardo il triangolo rettangolo ADB so che l'angolo in D vale 90-x (x angolo in B del triangolo rettangolo) deve essere per forza l'angolo in D (triangolo DCB) uguale a x; e poi siccome la diagonale è bisettrice dell'angolo in B, me lo divide in due parti uguali,dunque sia per il triangolo rettangolo DBA e per il triangolo DCB vale lo stesso valore x per cui il triangolo DCB è isoscele.

Beh che dire sei stato eccellente nel risolvere questo esercizio ^_^; ti ringrazio tantissimo sperando che il compito di martedì non sia tanto difficile ^_^.

Beh auguro a te e a tutti Buona Domenica.

Ciao Dreams

Esatto. Ho voluto dimostrare la congruenza degli angoli AB^D e BD^C con la complementarietà perché stiamo risolvendo per via trigonometrica, ma puoi anche osservare che i due angoli sono congruenti perché alterni interni delle parallele AB, DC tagliate da DB

Buona domenica anche a te, ciao*