Problemi sul triangolo rettangolo con la Trigonometria

Mi servirebbe una mano per risolvere un problema di trigonometria in cui mi viene chiesto di calcolare il perimetro di un triangolo. In teoria dovrei usare i teoremi trigonometrici sui triangoli rettangoli, però non capisco come.

In una semicirconferenza di estremi è data una corda tale che . Si conduca da la tangente alla circonferenza intersecando il prolungamento di in . Calcolare il perimetro del triangolo .

Grazie.

Il problema proposto richiede un breve preambolo teorico in cui riportiamo gli enunciati dei teoremi che useremo durante lo svolgimento.

Il primo teorema che enunceremo è quello sul triangolo inscritto in una semicirconferenza. Esso stabilisce che:

ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è necessariamente un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa coincide con il diametro della semicirconferenza.

Il secondo teorema che ci aiuterà a risolvere il problema stabilisce che:

la retta tangente in un punto di una circonferenza è perpendicolare al raggio che congiunge con il centro della circonferenza.

Il terzo teorema della geometria euclidea afferma che in una circonferenza, l'angolo al centro il doppio rispetto al corrispondente angolo alla circonferenza.

Dopo aver riportato gli enunciati dei teoremi, possiamo occuparci del problema.

Tracciamo una semicirconferenza di diametro . Disegniamo inoltre un punto della semicirconferenza in modo tale che l'angolo misuri .
Conduciamo infine da la tangente alla semicirconferenza: essa interseca il prolungamento del diametro nel punto .


Il nostro obiettivo consiste nel calcolare il perimetro del triangolo di vertici .

Per prima cosa consideriamo il triangolo . Poiché è inscritto nella semicirconferenza, esso sarà necessariamente un triangolo rettangolo con ipotenusa .

In accordo con il teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo secondo cui un cateto è uguale al prodotto tra l'ipotenusa e il coseno dell'angolo adiacente, pertanto:



(Si veda la tabella dei valori noti delle funzioni goniometriche per esplicitare il coseno di .)

Noto il lato , abbiamo bisogno di calcolare la lunghezza di dopodiché saremo in grado di determinare l'espressione del perimetro in termini di .

A tal proposito, congiungiamo il punto con il centro della semicirconferenza : il segmento è perpendicolare alla retta tangente (e quindi al segmento ).

Questa osservazione è fondamentale perché garantisce il fatto che il triangolo è rettangolo in e ci autorizza a usare nuovamente i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo.

In virtù del teorema sull'angolo al centro e angolo alla circonferenza, l'ampiezza dell'angolo è doppia rispetto a quella dell'angolo , di conseguenza



L'ampiezza di questo angolo ci permetterà di risolvere il triangolo rettangolo , infatti i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo assicurano che:

un cateto è uguale al prodotto tra l'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo, pertanto:



Poiché è un raggio della semicirconferenza, la sua lunghezza è pari a , inoltre , pertanto è:



Del triangolo conosciamo i cateti che misurano:



Grazie al teorema di Pitagora ricaviamo l'ipotenusa :



Noto , possiamo infine calcolare la misura del lato , che si esprime nella somma tra



Abbiamo finalmente calcolato tutte le misure dei lati del triangolo per cui disponiamo di tutti gli elementi per calcolarne il perimetro:



Se lo si ritiene necessario, si possono effettuare i passaggi algebrici che consentono di semplificare ulteriormente il risultato



Abbiamo finito.