Calcolare perimetro del triangolo rettangolo conoscendo area e tangente di un angolo

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Calcolare perimetro del triangolo rettangolo conoscendo area e tangente di un angolo #18525

avt
alexia994
Punto
Avrei bisogno di una mano con un problema in cui devo calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo; del triangolo rettangolo conosco l'area e la tangente di un angolo acuto.

Ecco il testo del problema: l'area di un triangolo rettangolo è di 54 m^2 e la tangente di uno degli angoli acuti misura 3/4. Calcolare il perimetro del triangolo.

Vi ringrazio in anticipo
 
 

Calcolare perimetro del triangolo rettangolo conoscendo area e tangente di un angolo #18559

avt
Omega
Amministratore
Vediamo come risolvere il problema: chiamiamo a,b,c le misure dei due cateti e dell'ipotenusa, rispettivamente, e \alpha,\beta,\gamma gli angoli che vi si oppongono, nell'ordine.

Conosciamo la misura dell'area del triangolo rettangolo, che peraltro si calcola come semiprodotto dei cateti

A_{tr}=\frac{ab}{2}=54cm^2\to ab=108cm^2

Sappiamo che vale la relazione trigonometrica per i cateti del triangolo rettangolo

a=b\tan{(\alpha)}\to a=\frac{3}{4}b

Sostituendo tale relazione in quella inerente l'area del triangolo

\frac{3}{4}b^2=108cm^2\to b^2=144cm^2\to b=12cm

e quindi a=9cm.

A differenza dell'esercizio che abbiamo già visto (perimetro e altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo) qui il testo non ci vieta di utilizzare il teorema di Pitagora, cosicché

c=\sqrt{a^2+b^2}

e quindi

2p=a+b+c

Lascio a te questi semplici calcoli.
Ringraziano: Pi Greco, alexia994

Calcolare perimetro del triangolo rettangolo conoscendo area e tangente di un angolo #18561

avt
alexia994
Punto
Perfetto, grazie mille..

Perdonami se non l'ho detto prima ma anche qui è vietato utilizzare Pitagora..

Calcolare perimetro del triangolo rettangolo conoscendo area e tangente di un angolo #18563

avt
Omega
Amministratore
In tal caso non dovrai fare altro che scrivere la definizione di tangente

\tan{(\alpha)}=\frac{\sin{(\alpha)}}{\cos{(\alpha)}}

da cui ricavi la relazione tra seno e coseno

\sin{(\alpha)}=\frac{3}{4}\cos{(\alpha)}

e, esattamente come nell'altro post, sostituisci questa relazione nell'identità fondamentale della trigonometria (vedi formule goniometriche).

Così facendo l'identità fondamentale si riduce ad un'equazione di secondo grado in \cos{(\alpha)}.

Risolvendola trovi il valore di \cos{(\alpha)}, da cui deduci quello di \sin{(\alpha)} e poi calcoli la misura dell'ipotenusa attraverso la formula trigonometrica per triangoli rettangoli

a=c\sin{(\alpha)}\to c=\frac{a}{\sin{(\alpha)}}
Ringraziano: Pi Greco, alexia994
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Os