Disequazione fratta trigonometrica

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Disequazione fratta trigonometrica #18455

avt
Dreams79
Cerchio
Non so se ho fatto bene ad aprire una nuova discussione, spero di si...comunque..

Stamattina mi sono svegliato di buon ora per mettermi al lavoro per l'ultimo compito di Matematica e mi sono scontrato con due disequazioni fratte trigonometriche che mi hanno lasciato qualche dubbio..

Chiedo con gentilezza un vostro ulteriore aiuto.

Posto le due disequazioni fratte trigonometriche

1) [ (cos7x-cos3x)/senxcosx ] > 0

la seconda disequazione fratta trigonometrica la posto dopo, voglio cercare di risolverla dopo aver appreso eventuali errori che commetto qui.

Comunque, dopo aver applicato Prostaferesi al numeratore e aver sostituito al denominatore la seguente relazione sen(2x)/2, ottengo

-4sen5x>0 e quindi sen5x<0 che risolta mi da

pi/5 < x <2/5pi + 2/5kpi

ma sul libro mi da pure l'esclusione 3/2pi + 2kpi

Da dove esce questa soluzione? Grazie mille.
 
 

Re: Disequazione fratta trigonometrica #18496

avt
Omega
Amministratore
Ciao Dreams79 emt

Fare ricorso alle formule di Prostaferesi è corretto, in particolare per risolvere la disequazione bisogna studiare separatamente il segno di numeratore

\cos{(7x)}-\cos{(3x)}>0

e denominatore

\sin{(x)}\cos{(x)}>0

Domanda da un milione di dollari: hai escluso i valori che annullano seno e coseno, vero?
Ringraziano: Pi Greco

Re: Disequazione fratta trigonometrica #18499

avt
Dreams79
Cerchio
mmm ho perso il milione di dollari -.- quindi in una disequazione fratta goniometrica bisogna sempre escludere i valori che escludono il denominatore?? Se puoi risolverla così vedo come procedere

Re: Disequazione fratta trigonometrica #18502

avt
Omega
Amministratore
I valori che annullano il denominatore in una disequazione fratta vanno esclusi sempre, a prescindere dal fatto che il simbolo di disequazione comprenda o meno l'uguale emt

Non può piovere per sempre e...non si può dividere per zero! emt

Ho appena fatto i conti e ho visto che i tuoi conti sono corretti: da

\frac{\cos{(7x)}-\cos{(3x)}}{\sin{(x)}\cos{(x)}}>0

puoi sì applicare Prostaferesi prima di passare allo studio del segno di numeratore e denominatore (per chi volesse vedere le formule di Prostaferesi, le trova al link che ho indicato sopra). Si passa così a

\frac{-2\sin{(5x)}\sin{(2x)}}{\sin{(x)}\cos{(x)}}>0

applicando la formula di duplicazione per il seno

\frac{-4\sin{(5x)}\sin{(x)}\cos{(x)}}{\sin{(x)}\cos{(x)}}>0

A questo punto hai semplificato - e va bene - ma prima di farlo bisogna imporre

\sin{(x)}\cos{(x)}\neq 0

vale a dire \sin{(x)}\neq 0 e \cos{(x)}\neq 0, da cui la risposta al tuo dubbio emt
Ringraziano: Pi Greco, Dreams79

Re: Disequazione fratta trigonometrica #18505

avt
Dreams79
Cerchio
Perfetto...grazie mille mi metto di nuovo a lavoro ^_^..adesso che ho escluso i valori che annullano il denominatore, per il milione di euro non si può fare nulle?? ^^

A parte gli scherzi...grazie mille...gentilissimo come sempre ^_^
Ringraziano: Omega

Re: Disequazione fratta trigonometrica #18508

avt
Omega
Amministratore
Cercheremo di recuperarli, ma sarà veramente dura con i tempi che corrono! emt

Di niente, figurati emt se dovessi avere dubbi non esitare a chiedere...
Ringraziano: Dreams79

Re: Disequazione fratta trigonometrica #18578

avt
Dreams79
Cerchio
Rieccomi qua...ho rifatto l'esercizio...anche tenendo conto delle soluzioni che annullano il denominatore, non mi trovo col libro...cerco di postare tutti i passaggi (Scusate ma non so usare latex) :

[cos(7x)-cos(3x)]/[senxcosx] >0

applicando prostaferesi al numeratore e sostituendo il denominatore con la formula di bisezione del seno ottengo :

[-2sen(5x)sen(2x)]/[sen(2x)/2] >0

facendo la prima per l'inversa della seconda ottengo :

[-4sen(5x)sen(2x)]/[sen(2x)] > 0

semplificando

-4sen(5x) > 0

da cui

4sen(5x)<0 --> sen(5x)<0

ponendo t=5x ottengo

sent<0 e le soluzioni sono :

(pi<t<2pi)+2kpi --> (pi<5x<2pi)+2kpi

da cui :

[ pi/5 < x < (2/5)pi ] + (2/5)kpi

Fin qui mi trovo, col libro. Aggiungendo le soluzioni che annullano il il denominatore, cioè sen(x)cos(x) ottengo

x diverso da 0+k(pi/2)

Sul libro porta come risultato...

[ pi/5 < x < (2/5)pi ] + (2/5)kpi U x diverso (3/2)pi + 2kpi.

Ora da dove esce la soluzione??????
Sto impazzendo -.-

(Scusate se ho scritto tanto, ma devo imparare latex -.- )

Re: Disequazione fratta trigonometrica #18585

avt
Omega
Amministratore
I casi sono due (sinceramente non mi sono messo a fare la verifica per i valori):

- il libro ha una soluzione sbagliata, dacché il tuo procedimento è corretto;

- gli unici angoli che rientrano nell'insieme delle soluzioni e che vanno esclusi sono quelli della forma \frac{3}{2}\pi+2k\pi, mentre gli altri sono già esclusi dall'insieme delle soluzioni.

Ad ogni modo la soluzione, per come l'hai scritta tu, va benissimo emt
Ringraziano: Dreams79

Re: Disequazione fratta trigonometrica #18589

avt
Dreams79
Cerchio
Credo di aver capito il risultato del libro e quindi il tuo...cioè le soluzioni si estendono ad un periodo 2kpi (mcm tra i periodi delle soluzioni ottenute analiticamente) e in questo periodo, l'intervallo delle soluzioni della disequazione, si ripetono 5 volte (periodo : (2/5)kpi) e in un intervallo di questi, cade una soluzione che annulla il denominatore , proprio 3/2pi e quindi da escludere.

(contorto un pochino..scusate)
Ringraziano: Omega

Re: Disequazione fratta trigonometrica #18593

avt
Omega
Amministratore
Chiarissimo, invece emt è proprio quello che intendevo nel precedente post emt
Ringraziano: Dreams79
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