Equazione goniometrica fratta

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione goniometrica fratta #17369

avt
nadialdrovandi
Punto
Ciao, ho un'equazione goniometrica fratta che non riesco a risolvere e vorrei approfittare del vostro aiuto. Forse dovrei utilizzare le formule parametriche?

Determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione goniometrica fratta

\frac{\sin{(x)}+1}{\sin{(x)}+\cos{(x)}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}

Secondo il risultato, l'equazione è impossibile, infatti il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto. Grazie in anticipo.
 
 

Equazione goniometrica fratta #17374

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione goniometrica

\frac{\sin{(x)}+1}{\sin{(x)}+\cos{(x)}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}

si può procedere con le formule parametriche di seno e coseno. In buona sostanza esprimeremo seno e coseno in termini della tangente di \frac{x}{2}.

Posto

t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)\ \ \ \mbox{con} \ x\ne\pi+2k\pi, \ k\in\mathbb{Z}

sussistono le uguaglianze

\\ \sin(x)=\frac{2t}{1+t^2} \\ \\ \\ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

Effettuando le sostituzioni, si passa all'equazione nell'incognita t

\dfrac{\dfrac{2t}{1+t^2}+1}{\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}

Per semplificare il più possibile l'espressione al primo membro, eseguiamo la somma tra le frazioni algebriche sia al numeratore principale, sia al denominatore

\dfrac{\dfrac{2t+1+t^2}{1+t^2}}{\dfrac{1+2t-t^2}{1+t^2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}

dopodiché esprimiamo in forma normale la frazione di frazioni moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore

\frac{2t+1+t^2}{1+t^2}\cdot\frac{1+t^2}{1+2t-t^2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}

Una volta semplificato 1+t^2 otteniamo l'equazione fratta in t

\frac{1+2t+t^2}{1+2t-t^2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}

da cui

\frac{1+2t+t^2}{1+2t-t^2}-\frac{\sqrt{3}-1}{2}=0

Esprimiamo a denominatore comune e svolgiamo i calcoli che ne scaturiscono

\frac{2(1+2t+t^2)-(\sqrt{3}-1)(1+2t-t^2)}{2(1+2t-t^2)}=0

Moltiplichiamo i due membri per il denominatore così da ricavare l'equazione equivalente

2(1+2t+t^2)-(\sqrt{3}-1)(1+2t-t^2)=0

Una volta esplicitate le moltiplicazioni e sommati tra loro i monomi simili, ricaviamo l'equazione di secondo grado

(1+\sqrt{3})t^2+(6-2\sqrt{3})t+3-\sqrt{3}=0

i cui coefficienti sono

a=1+\sqrt{3} \ \ \ , \  \ \ b=6-2\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \ c=3-\sqrt{3}

Calcoliamo il discriminante associato mediante la relazione

\\ \Delta=b^2-4ac= \\ \\ =(6-2\sqrt{3})^2-4\cdot (1+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=

Sviluppiamo il quadrato di binomio ed eseguiamo il prodotto tra i radicali

=48-24\sqrt{3}-8\sqrt{3}=48-32\sqrt{3}<0

Poiché il discriminante è negativo, l'equazione di secondo grado in t risulta impossibile, conseguentemente nemmeno l'equazione di partenza ammette soluzioni.

Concludiamo dunque che l'insieme soluzione dell'equazione

\frac{\sin{(x)}+1}{\sin{(x)}+\cos{(x)}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}

coincide con l'insieme vuoto.
Ringraziano: Pi Greco, nadialdrovandi, Danni, Sanddorn
  • Pagina:
  • 1
Os