Valore del seno conoscendo la tangente, esercizio di Goniometria

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Valore del seno conoscendo la tangente, esercizio di Goniometria #17338

avt
spooky
Punto
Ciao avrei bisogno di una spiegazione per risolvere questo esercizio di Trigonometria: devo calcolare il valore del seno conoscendo il valore della tangente. Non so come devo procedere e neanche le formule che devo utilizzare...

Sapendo che \tan(\alpha)=\frac{1}{2} con 0<\alpha<\frac{\pi}{2} determinare \sin\left(2\alpha+\frac{\pi}{3}\right).

Calcolare poi \sin2\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right) e confrontare i risultati trovati!
 
 

Valore del seno conoscendo la tangente, esercizio di Goniometria #17347

avt
Omega
Amministratore
Ciao Spooky emt

Per risolvere l'esercizio dobbiamo sfruttare in qualche modo l'informazione data dalla relazione

\tan{(a)}=\frac{1}{2}\mbox{ con }0<\alpha<\frac{1}{2}

Prima di capire come, molto meccanicamente, consideriamo

\sin{\left(2a+\frac{\pi}{3}\right)}=\bullet

e facciamo l'unica cosa che possiamo fare, cioè sviluppare l'espressione con le formule di sommazione degli angoli per il seno

\bullet=\sin{(2a)}\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}+\cos{(2a)}\sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\bullet

Il valore delle funzioni trigonometriche in \pi/3 è noto

\bullet=\frac{1}{2}\sin{(2a)}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{(2a)}=\bullet

Tutto quello che possiamo fare ora è applicare le formule di duplicazione di seno e coseno

\bullet=\frac{1}{2}2\sin{(a)}\cos{(a)}+\frac{\sqrt{3}}{2}[\cos^2{(a)}-\sin^2{(a)}]

Ora veniamo all'informazione

\tan{(a)}=\frac{1}{2} \bullet\bullet

noi sappiamo che vale l'identità fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

\sin^2{(a)}+\cos^2{(a)}=1

D'altra parte possiamo riscrivere \bullet\bullet sfruttando la definizione di tangente

\frac{\sin{(a)}}{\cos{(a)}}=\frac{1}{2}

da cui ricaviamo

\sin{(a)=\frac{1}{2}\cos{(a)}

Sostituiamo tale relazione nella relazione dovuta all'identità fondamentale della trigonometria

\frac{1}{4}\cos^2{(a)}+\cos^2{(a)}=1

\frac{5}{4}\cos^2{(a)}=1

da cui ricaviamo

\cos{(a)}=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}

Dato che il testo dell'esercizio ci impone 0<\alpha<\frac{\pi}{2}, dobbiamo scegliere la soluzione con segno positivo, per cui

\cos{(a)}=+\frac{2}{\sqrt{5}}

e quindi

\sin{(a)}=+\frac{1}{\sqrt{5}}

Non ti resta che sostituire tali valori in \bullet e determinare il valore numerico richiesto. emt

La seconda richiesta dell'esercizio è quantomeno ridondante:

2\left(a+\frac{\pi}{6}\right)=2a+\frac{\pi}{3}
Ringraziano: LittleMar, Ifrit, spooky
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Os