Problema di trigonometria applicata alla geometria piana (triangoli rettangoli)

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Problema di trigonometria applicata alla geometria piana (triangoli rettangoli) #15504

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti, non riesco a risolvere un problema in cui bisogna applicare le formule della Trigonometria alla Geometria piana, per questo mi servirebbe una mano...

Nel triangolo isoscele ABC rettangolo in A, i cateti AB e AC sono lunghi l; si conduca la perpendicolare al cateto AB passante per B, e si consideri un punto D sull'ipotenusa...detta E la proiezione ortogonale del punto D sulla suddetta perpendicolare si determini l'ampiezza dell'angolo BAD in modo che sia verificata la relazione:

AD+DE=(radq2+1)l / 2

Grazie!
 
 

Problema di trigonometria applicata alla geometria piana (triangoli rettangoli) #15536

avt
Omega
Amministratore
Ciao JohnnyR emt

Disegna la figura e segui il ragionamento emt

Nel triangolo ABD applichiamo il teorema dei seni, e otteniamo le relazioni

\frac{AD}{\sin{(45^{o})}}=\frac{AB}{\sin{(135^{o}-x)}}

cioè, applicando la formula di sommazione per angoli del seno

AD=\frac{\frac{l}{\sqrt{2}}}{\sin{(135^{o})}\cos{(x)}-\cos{(135^{o})}\sin{(x)}}

AD=\frac{\frac{l}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{(x)}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{(x)}}

AD=\frac{l}{\cos{(x)}+\sin{(x)}}

Analogamente

\frac{BD}{\sin{(x)}}=\frac{AB}{\sin{(135^{o}-x)}}

otteniamo

BD=\frac{l\sin{(x)}}{\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{(x)}+\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{(x)}}

In riferimento al triangolo rettangolo BED vale la relazione cateto-seno-ipotenusa

DE=BD\sin{(45^{o})}=\frac{1}{\sqrt{2}}BD

ossia

DE=\frac{l\sin{(x)}}{\cos{(x)}+\sin{(x)}}

A questo punto si tratta di sostituire le espressioni precedenti nella relazione

AD+DE=\frac{\sqrt{2}+1}{2}

e risolvere la corrispondente equazione trigonometrica. emt
Ringraziano: Pi Greco, JohnnyR

Problema di trigonometria applicata alla geometria piana (triangoli rettangoli) #15544

avt
JohnnyR
Cerchio
Grazie mille!!!IO ho provato a farlo ma sbagliavo un segno! facendo l/cosx-senx ...ora ho capito!! Nn è ke per cortesia potresti dare una rapidissima occhiata all'altro problema che ho postato nel forum e che non riesco proprio a capire??domani ho compito in classe e potrebbe capitarne uno simile!
Grazie mille come sempreeee!!
Ringraziano: Omega
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Os