Identità goniometrica, esercizio

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Identità goniometrica, esercizio #1508

avt
Jumpy
Cerchio
Ciao a tutti, mi servirebbe una mano con un esercizio sulla verifica di un'identità goniometrica.

L'identità goniometrica che non riesco a verificare è questa

\cos^{6}{x} + \sin^{6}{x} = 1 - 3 \cos^{2}{x} \sin^{2}{x}

Grazie mille!
 
 

Identità goniometrica, esercizio #1512

avt
frank094
Maestro
Ciao Jumpy, vediamo se l'ho interpretata correttamente ( comunque c'è la funzione apice utile per scrivere gli esponenti ).

\cos^{6}{x} + \sin^{6}{x} = 1 - 3 \cos^{2}{x} \sin^{2}{x}

Se è così lavoriamo esclusivamente con il primo membro dell'identità e cerchiamo di ricondurlo al secondo.
La prima cosa che mi viene in mente è di considerarla una somma di due cubi e di scomporla di conseguenza. In pratica seguiamo la strada dei prodotti notevoli:

\cos^{6}{x} + \sin^{6}{x} = (\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x})(\sin^{4}{x} - \sin^{2}{x} \cos^{2}{x} + \cos^{4}{x})

La prima parentesi sappiamo essere la relazione fondamentale della goniometria (vedi formule trigonometriche) quindi si può sostituire con "1":

1 \cdot (\sin^{4}{x} - \sin^{2}{x} \cos^{2}{x} + \cos^{4}{x}) = (\sin^{4}{x} - \sin^{2}{x} \cos^{2}{x} + \cos^{4}{x})

Se adesso andiamo a sottrarre ed aggiungere una stessa quantità completiamo il primo quadrato:

(\sin^{4}{x} - \sin^{2}{x} \cos^{2}{x} + \cos^{4}{x}) + 3\sin^{2}{x} \cos^{2}{x} - 3\sin^{2}{x} \cos^{2}{x}

Porto la quantità positiva all'interno della parentesi così da ottenere

(\sin^{4}{x} + 2\sin^{2}{x} \cos^{2}{x} + \cos^{4}{x}) - 3\sin^{2}{x} \cos^{2}{x}

Adesso è chiaro che si tratta di un quadrato di un binomio ( nello specifico sin2 (x) + cos2 (x) ):

(\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x})^{2} - 3\sin^{2}{x} \cos^{2}{x}

Come già detto in precedenza sin2 (x) + cos2 (x) = 1

(1)^{2} - 3\sin^{2}{x} \cos^{2}{x} = 1 - 3\sin^{2}{x} \cos^{2}{x}

Che è proprio il risultato al quale volevamo arrivare! Tutto chiaro?
Ringraziano: Omega, Ifrit, Danni

Re: Identità goniometrica, esercizio #25869

avt
Danni
Sfera
Ciao Jumpy. Poiché il seno e coseno sono rispettivamente un'ascissa e un'ordinata, per brevità di scrittura imponiamo

cos(x) = X

sen(x) = Y

e dobbiamo quindi verificare l'identità

X^6 + Y^6 = 1 - 3X^2Y^2

che scriviamo come

X^6 + Y^6 + 3X^2Y^2 = 1

Trasformiamo la somma di cubi presente al primo membro:

(X^2 + Y^2)(X^4 - X^2Y^2 + Y^4) + 3X^2Y^2 = 1

Essendo

X^2 + Y^2 = 1

possiamo scrivere

X^4 + Y^4 + 2X^2Y^2 = 1

(X^2 + Y^2)^2 = 1

1 = 1

e l'identità è verificata.

emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
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Os