Equazione trigonometrica (polinomio di coseni)

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Equazione trigonometrica (polinomio di coseni) #14701

avt
luigi rovatti
Cerchio
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione trigonometrica in cui compaiono diverse potenze di coseni. Il mio professore ha suggerito di procedere per sostituzione, ma non capisco come.

Calcolare le soluzioni dell'equazione trigonometrica

\cos^3(x)+\cos^2(x)+\cos(x)+1=0

Mi potreste spiegare come si risolve?

Grazie mille in anticipo.
 
 

Equazione trigonometrica (polinomio di coseni) #14706

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione trigonometrica

\cos^3{(x)}+\cos^2{(x)}+\cos{(x)}+1=0

conviene operare per sostituzione, ponendo

y=\cos{(x)}

In questo modo ci riconduciamo ad un'equazione di grado superiore al secondo

y^3+y^2+y+1=0

e si scompone il polinomio al primo membro con la regola di Ruffini, prendendo come radice del polinomio y=-1 o, ancora meglio mediante raccoglimento parziale: raccogliamo y^2 tra i primi due membri

y^2(y+1)+(y+1)=0

e raccogliamo il fattore comune y+1

(y+1)(y^2+1)=0

Adesso si tratta solo di applicare la legge di annullamento del prodotto.

Le soluzioni della precedente equazione sono date da tutte e sole le soluzioni delle equazioni

y+1=0\ \ \ \to \ \ \ y=-1

e

y^2+1=0

dove la seconda è impossibile (nell'insieme dei numeri reali) perché una somma tra un quadrato (y^2) e una costante positiva (1) non può essere mai pari a zero.

Ricordandoci che y=\cos{(x)}, passiamo a risolvere l'equazione goniometrica elementare

\cos{(x)}=-1

le cui soluzioni sono date da

x=\pi+2k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, luigi rovatti

Equazione trigonometrica (polinomio di coseni) #14709

avt
luigi rovatti
Cerchio
Grazie mille! Adesso ho capito!
Ringraziano: Omega
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Os