Equazione trigonometrica (polinomio di coseni)

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Equazione trigonometrica (polinomio di coseni) #14701

luigi rovatti Cerchio	Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione trigonometrica in cui compaiono diverse potenze di coseni. Il mio professore ha suggerito di procedere per sostituzione, ma non capisco come. Calcolare le soluzioni dell'equazione trigonometrica $\cos^3(x)+\cos^2(x)+\cos(x)+1=0$ Mi potreste spiegare come si risolve? Grazie mille in anticipo.

Equazione trigonometrica (polinomio di coseni) #14706

Omega

Amministratore

Per risolvere l'equazione trigonometrica

$\cos^3{(x)}+\cos^2{(x)}+\cos{(x)}+1=0$

conviene operare per sostituzione, ponendo

$y=\cos{(x)}$

In questo modo ci riconduciamo ad un'equazione di grado superiore al secondo

e si scompone il polinomio al primo membro con la regola di Ruffini, prendendo come radice del polinomio

o, ancora meglio mediante raccoglimento parziale: raccogliamo

tra i primi due membri

e raccogliamo il fattore comune

Adesso si tratta solo di applicare la legge di annullamento del prodotto.

Le soluzioni della precedente equazione sono date da tutte e sole le soluzioni delle equazioni

$y+1=0\ \ \ \to \ \ \ y=-1$

e

dove la seconda è impossibile (nell'insieme dei numeri reali) perché una somma tra un quadrato

e una costante positiva

non può essere mai pari a zero.

Ricordandoci che $y=\cos{(x)}$ , passiamo a risolvere l'equazione goniometrica elementare

$\cos{(x)}=-1$

le cui soluzioni sono date da

$x=\pi+2k\pi$

al variare di $k\in\mathbb{Z}$ .

Abbiamo terminato.

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, luigi rovatti

Equazione trigonometrica (polinomio di coseni) #14709

luigi rovatti Cerchio	Grazie mille! Adesso ho capito!
	Ringraziano: Omega

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