Equazione trigonometrica (polinomio di coseni)

Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione trigonometrica in cui compaiono diverse potenze di coseni. Il mio professore ha suggerito di procedere per sostituzione, ma non capisco come.

Calcolare le soluzioni dell'equazione trigonometrica



Mi potreste spiegare come si risolve?

Grazie mille in anticipo.

Per risolvere l'equazione trigonometrica



conviene operare per sostituzione, ponendo



In questo modo ci riconduciamo ad un'equazione di grado superiore al secondo



e si scompone il polinomio al primo membro con la regola di Ruffini, prendendo come radice del polinomio o, ancora meglio mediante raccoglimento parziale: raccogliamo tra i primi due membri



e raccogliamo il fattore comune



Adesso si tratta solo di applicare la legge di annullamento del prodotto.

Le soluzioni della precedente equazione sono date da tutte e sole le soluzioni delle equazioni



e



dove la seconda è impossibile (nell'insieme dei numeri reali) perché una somma tra un quadrato e una costante positiva non può essere mai pari a zero.

Ricordandoci che , passiamo a risolvere l'equazione goniometrica elementare



le cui soluzioni sono date da



al variare di .

Abbiamo terminato.

Grazie mille! Adesso ho capito!