Equazione trigonometrica (polinomio di coseni)

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#14701
avt
luigi rovatti
Cerchio

Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione trigonometrica in cui compaiono diverse potenze di coseni. Il mio professore ha suggerito di procedere per sostituzione, ma non capisco come.

Calcolare le soluzioni dell'equazione trigonometrica

cos^3(x)+cos^2(x)+cos(x)+1 = 0

Mi potreste spiegare come si risolve?

Grazie mille in anticipo.

#14706
avt
Amministratore

Per risolvere l'equazione trigonometrica

cos^3(x)+cos^2(x)+cos(x)+1 = 0

conviene operare per sostituzione, ponendo

y = cos(x)

In questo modo ci riconduciamo ad un'equazione di grado superiore al secondo

y^3+y^2+y+1 = 0

e si scompone il polinomio al primo membro con la regola di Ruffini, prendendo come radice del polinomio y = −1 o, ancora meglio mediante raccoglimento parziale: raccogliamo y^2 tra i primi due membri

y^2(y+1)+(y+1) = 0

e raccogliamo il fattore comune y+1

(y+1)(y^2+1) = 0

Adesso si tratta solo di applicare la legge di annullamento del prodotto.

Le soluzioni della precedente equazione sono date da tutte e sole le soluzioni delle equazioni

y+1 = 0 → y = −1

e

y^2+1 = 0

dove la seconda è impossibile (nell'insieme dei numeri reali) perché una somma tra un quadrato (y^2) e una costante positiva (1) non può essere mai pari a zero.

Ricordandoci che y = cos(x), passiamo a risolvere l'equazione goniometrica elementare

cos(x) = −1

le cui soluzioni sono date da

x = π+2kπ

al variare di k∈Z.

Abbiamo terminato.

Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, luigi rovatti
#14709
avt
luigi rovatti
Cerchio

Grazie mille! Adesso ho capito!

Ringraziano: Omega
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