Verificare uguaglianza goniometrica con secante e tangente

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Verificare uguaglianza goniometrica con secante e tangente #14028

avt
Senialf
Banned
Salve a tutti, mi spiegate come si risolve questo esercizio di verifica di un'uguaglianza goniometrica? Riporto la traccia: risolvi la seguente identità:

tg^2 α - cotg^2 β = sec^2 α - cosec^2 β.

Vorrei sapere la soluzione...grazie!
 
 

Verificare uguaglianza goniometrica con secante e tangente #14034

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ok, iniziamo:

\tan^2\alpha-\cot^2 \beta= \sec^2\alpha-\mbox{cosec}^2\beta

Iniziamo sempre come al solito:

\tan^2\alpha= \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}

\cot^2\beta= \frac{\cos^2\beta}{\sin^2\beta}

Di conseguenza:

\tan^2\alpha-\cot^2\beta= \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{\cos^2\beta}{\sin^2\beta}

Sempre per la relazione fondamentale della trigonometria (vedi le formule di Trigonometria) abbiamo:

\sin^2\alpha= 1-\cos^2\alpha

\cos^2\beta= 1-\sin^2\beta

Sostituendo:

\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{1-\sin^2\beta}{\sin^2\beta}=

\frac{1}{\cos^2\alpha}-\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\frac{1}{\sin^2\beta}+\frac{\sin^2\beta}{\sin^2\beta}=

=\frac{1}{\cos^2\alpha}-1-\frac{1}{\sin^2\beta}+1=

= \frac{1}{\cos^2\alpha}-\frac{1}{\sin^2\beta}

A questo punto per definizione abbiamo che:

\frac{1}{\cos^2\alpha}= \sec^2\alpha

\frac{1}{\sin^2\beta}=\mbox{cosec}^2\beta

Concludiamo dicendo:

= \frac{1}{\cos^2\alpha}-\frac{1}{\sin^2\beta}= \sec^2\alpha-\mbox{cosec}^2\beta

che è quello che volevamo dimostrare emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Senialf
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Os