Identità di Trigonometria con tangente e cotangente

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Identità di Trigonometria con tangente e cotangente #14024

avt
Senialf
Banned
Ciao potete aiutarmi con una identità trigonometrica con tangente e cotangente? Scrivo la traccia: verificare la seguente identità

tg^2 α + cotg^2 β = sec^2 α + cosec^2 β - 2.

Vi chiedo di spiegarmi come risolvere l'identità, grazie.
 
 

Identità di Trigonometria con tangente e cotangente #14026

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Senialf, iniziamo emt

\tan^2\alpha+\cot^2\beta= \sec^2\alpha+\mbox{cosec}^2\beta-2

Cominciamo dal primo membro:

\tan^2\alpha+\cot^2\beta

Per definizione di tangente e di cotangente:

\tan^2\alpha= \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}

\cot^2\beta= \frac{\cos^2\beta}{\sin^2\beta}

Sostituiamo:

\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\beta}{\sin^2\beta}

Per la relazione fondamentale della trigonometria (click qui per le formule trigonometriche) abbiamo:

\sin^2\alpha= 1-\cos^2\alpha

mentre

\cos^2\beta= 1-\sin^2\beta

Andiamo a sostituire:


\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{1-\sin^2\beta}{\sin^2\beta}=

\frac{1}{\cos^2\alpha}-\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\beta}-\frac{\sin^2\beta}{\sin^2\beta}=

Semplifica in modo opportuno:


\frac{1}{\cos^2\alpha}-1+\frac{1}{\sin^2\beta}-1=

\frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\beta}-2

Ricordando che:

\frac{1}{\cos\alpha}= \sec\alpha

e

\frac{1}{\sin\beta}= \mbox{cosec}\beta

si ha che:


\frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\beta}-2= \sec^2\alpha+\mbox{cosec}^2\beta -2


che è quello che volevamo emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os