Verifica identità trigonometrica con secante e tangente

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Verifica identità trigonometrica con secante e tangente #13975

avt
Senialf
Banned
Ciao ciao vi posto la traccia di un esercizio, è un'uguaglianza trigonometrica con tangenti e secanti, che non riesco a risolvere:

tg^2 α + tg^2 β = sec^2 α + sec^2 β - 2.
 
 

Verifica identità trigonometrica con secante e tangente #13977

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Senialf iniziamo subito emt

Consideriamo il primo membro:

\tan^2\alpha+\tan^2 \beta

Ricorda che, per la formula della tangente

\tan^2 x= \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}

quindi:


\tan^2\alpha+\tan^2 \beta=

\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}+\frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}

Proviamo a fare il minimo comune multiplo:

\frac{\sin^2\alpha \cos^2\beta+\sin^2 \beta \cos^2 \alpha}{\cos^2\alpha \cos^2\beta}

Ora per la legge fondamentale della trigonometria abbiamo che:

\sin^2 \alpha= 1-\cos^2\alpha

\sin^2 \beta= 1-\cos^2\beta

\frac{(1-\cos^2\alpha) \cos^2\beta+(1-\cos^2\beta)\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha \cos^2\beta}

Proviamo a sviluppare i conti:

\frac{\cos^2\beta-\cos^2\alpha\cos^2\beta+\cos^2\alpha-\cos^2\beta\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha \cos^2\beta}=


\frac{\cos^2\beta-2\cos^2\alpha\cos^2\beta+\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha \cos^2\beta}=

\frac{\cos^2\beta}{\cos^2\alpha\cos^2\beta}-\frac{2\cos^2\alpha\cos^2\beta}{\cos^2\alpha \cos^2\beta}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha \cos^2\beta}=

Semplificando in modo opportuno:


\frac{1}{\cos^2\alpha}-2+\frac{1}{\cos^2\beta}=


Infine ricorda che, per la formula della secante

\frac{1}{\cos(x)}= \sec(x) quindi:


\sec^2\alpha-2+\sec^2\beta

che è quello che volevamo dimostrare
Ringraziano: Pi Greco, Senialf
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