Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi

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Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13937

avt
Senialf
Banned
Non riesco a verificare queste identità trigonometriche sulle formule trigonometriche e sulla somma degli archi.

Traccia: mediante l'uso opportuno delle formule per la duplicazione degli archi, verificare le seguenti identità:

1) cos 2α cos 2β = cos^2 (α - β) - sen^2 (α + β)

2) sen 2α - sen 2β = 2 sen (α - β)cos (α + β)

Grazie!
 
 

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13942

avt
Omega
Amministratore
Ciao Senialf emt tieni a portata di mano le formule trigonometriche...

Cominciamo con la prima delle due identità trigonometriche. Per abbreviare un po' le notazioni, chiamerò

sin(α) = Sa

sin(β) = Sb

cos(α) = Ca

cos(β) = Cb

L'identità da verificare è

cos(2α)cos(2β) = cos^2(α-β)-sin^2(α+β)

Sviluppiamo il primo membro attraverso le formule di duplicazione del coseno

cos(2α) = Ca^2-Sa^2

cos(2β) = Cb^2-Sb^2

cos(2α)cos(2β) = [Ca^2-Sa^2][Cb^2-Sb^2]

Passiamo a considerare il secondo membro: qui ci servono le formule di sommazione per angoli

cos^2(α-β) = [Ca Cb+SaSb]^2

sin^2(α+β) = [Sa Cb+CaSb]^2

Dunque

cos^2(α-β)-sin^2(α+β) =

= [Ca Cb+SaSb]^2-[Sa Cb+CaSb]^2=


ora bisogna solamente fare qualche conto

= Ca^2 Cb^2+Sa^2Sb^2+2CaCbSaSb-Sa^2 Cb^2+Ca^2Sb^2-2CaCbSaSb=


= Ca^2 Cb^2+Sa^2Sb^2-Sa^2 Cb^2+Ca^2Sb^2=


Raccogliamo Ca^2 dal primo e ultimo termine e -Sa^2 dal secondo e dal terzo

= Ca^2 [Cb^2-Sb^2]-Sa^2[Cb^2-Sb^2]=


cioè

= [Ca^2-Sa^2] [Cb^2-Sb^2]


L'identità è verificata emt
Ringraziano: Pi Greco, Senialf

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13952

avt
Senialf
Banned
La Seconda ?

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13965

avt
Omega
Amministratore
E un per favore, no?

E un attimo di pazienza, no?

Prendi questo, ad esempio

/forum/trigonometria-logaritmi-esponenziali/12404-salve-sono-nuovo-non-riesco-a-risolvere-questa-equazione-di-goniometria-4-superiore.html

sono due settimane che aspetto una tua risposta.

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13970

avt
Senialf
Banned
Si Scusa Omega.. Lo Preso Ad Esempio Quello Ma non Ci Riesco.. Aiutami Tu Grazie..

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13978

avt
Omega
Amministratore
Non era quello il senso del mio messaggio.

Ad ogni modo, per la seconda identità

sin(2α)-sin(2β) = 2sin(α-β)cos(α+β)

usando le stesse notazioni della mia risposta precedente, e facendo riferimento alla formula di duplicazione del seno

sin(2α) = 2SaCa

sin(2β) = 2SbCb

Il primo membro diventa

sin(2α)-sin(2β) = 2[SaCa-SbCb]

Per quanto riguarda il secondo membro, grazie alle formule di sommazione degli angoli

2sin(α-β)cos(α+β) = 2[SaCb-CaSb][CaCb-SaSb] =

Facendo i conti

= 2[SaCaCb^2-Sa^2SbCb-Ca^2SbCb+SaCaSb^2] =

ed effettuando opportuni raccoglimenti

= 2[SaCa(Cb^2+Sb^2)-SbCb(Sa^2+Ca^2)] =

possiamo applicare l'identità fondamentale trigonometrica

= 2[SaCa(1)-SbCb(1)] =

= 2[SaCa-SbCb]

e anche qui l'identità è verificata.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Senialf
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