Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13937

avt
Senialf
Banned
Non riesco a verificare queste identità trigonometriche sulle formule trigonometriche e sulla somma degli archi.

Traccia: mediante l'uso opportuno delle formule per la duplicazione degli archi, verificare le seguenti identità:

1) cos 2α cos 2β = cos^2 (α - β) - sen^2 (α + β)

2) sen 2α - sen 2β = 2 sen (α - β)cos (α + β)

Grazie!
 
 

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13942

avt
Omega
Amministratore
Ciao Senialf emt tieni a portata di mano le formule trigonometriche...

Cominciamo con la prima delle due identità trigonometriche. Per abbreviare un po' le notazioni, chiamerò

\sin{(\alpha)}=Sa

\sin{(\beta)}=Sb

\cos{(\alpha)}=Ca

\cos{(\beta)}=Cb

L'identità da verificare è

\cos{(2\alpha)}\cos{(2\beta)}=\cos^2{(\alpha-\beta)}-\sin^2{(\alpha+\beta)}

Sviluppiamo il primo membro attraverso le formule di duplicazione del coseno

\cos{(2\alpha)}=Ca^2-Sa^2

\cos{(2\beta)}=Cb^2-Sb^2

\cos{(2\alpha)}\cos{(2\beta)}=[Ca^2-Sa^2][Cb^2-Sb^2]

Passiamo a considerare il secondo membro: qui ci servono le formule di sommazione per angoli

\cos^2{(\alpha-\beta)}=[Ca Cb+SaSb]^2

\sin^2{(\alpha+\beta)}=[Sa Cb+CaSb]^2

Dunque

\cos^2{(\alpha-\beta)}-\sin^2{(\alpha+\beta)}=

=[Ca Cb+SaSb]^2-[Sa Cb+CaSb]^2=


ora bisogna solamente fare qualche conto

=Ca^2 Cb^2+Sa^2Sb^2+2CaCbSaSb-Sa^2 Cb^2+Ca^2Sb^2-2CaCbSaSb=


=Ca^2 Cb^2+Sa^2Sb^2-Sa^2 Cb^2+Ca^2Sb^2=


Raccogliamo Ca^2 dal primo e ultimo termine e -Sa^2 dal secondo e dal terzo

=Ca^2 [Cb^2-Sb^2]-Sa^2[Cb^2-Sb^2]=


cioè

=[Ca^2-Sa^2] [Cb^2-Sb^2]


L'identità è verificata emt
Ringraziano: Pi Greco, Senialf

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13952

avt
Senialf
Banned
La Seconda ?

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13965

avt
Omega
Amministratore
E un per favore, no?

E un attimo di pazienza, no?

Prendi questo, ad esempio

/forum/trigonometria-logaritmi-esponenziali/12404-salve-sono-nuovo-non-riesco-a-risolvere-questa-equazione-di-goniometria-4-superiore.html

sono due settimane che aspetto una tua risposta.

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13970

avt
Senialf
Banned
Si Scusa Omega.. Lo Preso Ad Esempio Quello Ma non Ci Riesco.. Aiutami Tu Grazie..

Verifica di due identità trigonometriche con formule di duplicazione e di somma degli archi #13978

avt
Omega
Amministratore
Non era quello il senso del mio messaggio.

Ad ogni modo, per la seconda identità

\sin{(2\alpha)}-\sin{(2\beta)}=2\sin{(\alpha-\beta)}\cos{(\alpha+\beta)}

usando le stesse notazioni della mia risposta precedente, e facendo riferimento alla formula di duplicazione del seno

\sin{(2\alpha)}=2SaCa

\sin{(2\beta)}=2SbCb

Il primo membro diventa

\sin{(2\alpha)}-\sin{(2\beta)}=2[SaCa-SbCb]

Per quanto riguarda il secondo membro, grazie alle formule di sommazione degli angoli

2\sin{(\alpha-\beta)}\cos{(\alpha+\beta)}=2[SaCb-CaSb][CaCb-SaSb]=

Facendo i conti

=2[SaCaCb^2-Sa^2SbCb-Ca^2SbCb+SaCaSb^2]=

ed effettuando opportuni raccoglimenti

=2[SaCa(Cb^2+Sb^2)-SbCb(Sa^2+Ca^2)]=

possiamo applicare l'identità fondamentale trigonometrica

=2[SaCa(1)-SbCb(1)]=

=2[SaCa-SbCb]

e anche qui l'identità è verificata.
Ringraziano: Pi Greco, LittleMar, Senialf
  • Pagina:
  • 1
Os