Verifica di un'identità trigonometrica, esercizio

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Verifica di un'identità trigonometrica, esercizio #1356

avt
Jumpy
Cerchio
Potreste darmi una mano con un esercizio di Trigonometria sulla verifica di un'identità trigonometrica?

L'identità trigonometrica che devo verificare è questa:

\frac{1}{2 - \sin^{2}{x}} = \frac{1 + \tan^{2}{x}}{2 + \tan^{2}{x}}

Grazie anticipatamente!
 
 

Verifica di un'identità trigonometrica, esercizio #1370

avt
frank094
Maestro
Ciao Jumpy, vogliamo verificare l'identità

\frac{1}{2 - \sin^{2}{x}} = \frac{1 + \tan^{2}{x}}{2 + \tan^{2}{x}}

Poiché è indifferente decidiamo di lavorare solo sul secondo membro in modo da ricondursi al primo:

\frac{1 + \tan^{2}{x}}{2 + \tan^{2}{x}}

Sfruttiamo la relazione che lega la tangente al seno e coseno (la definizione di tangente di un angolo)

\frac{1 + \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}}{2 + \frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}}}

Portiamo il coseno in seno tramite la relazione fondamentale della goniometria (formule trigonometriche):

\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} = 1 \quad \rightarrow \quad  \cos^{2}{x} = 1 - \sin^{2}{x}

Sostituiamo

\frac{1 + \frac{\sin^{2}{x}}{1 - \sin^{2}{x}}}{2 + \frac{\sin^{2}{x}}{1 - \sin^{2}{x}}}

Adesso un semplice passaggio algebrico

\frac{\frac{1 - sin^{2}{x} + \sin^{2}{x}}{1 - \sin^{2}{x}}}{\frac{2 - 2 \sin^{2}{x} + \sin^{2}{x}}{1 - \sin^{2}{x}}}

riscriviamo la frazione di frazioni come un'unica frazione, semplifichiamo e svolgiamo le operazioni di addizione e sottrazione:

\frac{1}{2 - \sin^{2}{x}}

Ma questo è il primo membro della nostra identità: abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os