Esercizio sulle formule parametriche trigonometriche

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Esercizio sulle formule parametriche trigonometriche #12215

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti come faccio ad usare le formule parametriche della Trigonometria per esprimere in funzione di t=tg(a/2) le seguenti espressioni?

\frac{\sin(a)}{1+\cos(a)}

\frac{1-\cos(a)}{\sin(a)}

Io volevo provare a sostituire al seno: \frac{\tan(a)}{\sqrt{1+\tan^2(a)}}, però non so né se è giusto né come continuare!

Grazie!
 
 

Esercizio sulle formule parametriche trigonometriche #12218

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao, premetto che in questa lezione - formule trigonometriche - trovi tutto quello che ti serve

In particolare usiamo le formule parametriche e poniamo t= \tan\frac{\alpha}{2}. Si ha che:

\sin(\alpha)= \frac{2t}{1+t^2}

mentre

\cos(\alpha)= \frac{1-t^2}{1+t^2}

Da questo segue che:

1+\cos(\alpha)= 1+\frac{1-t^2}{1+t^2}= \frac{1+t^2+1-t^2}{1+t^2}=\frac{2}{1+t^2}

Andiamo a sostituire:

\frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}=\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2}{1+t^2}}=\frac{2t}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2}=t

Quindi:

\frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}= t= \tan\frac{\alpha}{2}.

mentre per l'altro:

\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}= \frac{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=

=\frac{\frac{1+t^2-1+t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=

=\frac{\frac{2t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}}=

\frac{2t^2}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2t}= t= \tan\frac{\alpha}{2}.

Abbiamo concluso emt
Ringraziano: Omega, Pi Greco

Esercizio sulle formule parametriche trigonometriche #12219

avt
Omega
Amministratore
Ciao JohnnyR emt

Per quanto riguarda la prima espressione trigonometrica, abbiamo proprio

\frac{\sin{(a)}}{1+\cos{(a)}}=\tan{\left(\frac{a}{2}\right)}

Per vederlo, consideriamo a=2\frac{a}{2}, e quindi

\frac{\sin{\left(2\frac{a}{2}\right)}}{1+\cos{\left(2\frac{a}{2}\right)}}

grazie alle formule di duplicazione di seno e coseno, possiamo riscrivere il tutto nella seguente forma

\frac{2\sin{\left(\frac{a}{2}\right)}\cos{\left(\frac{a}{2}\right)}}{1+\cos^2{\left(\frac{a}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{a}{2}\right)}}

Grazie all'identità fondamentale della trigonometria

\frac{2\sin{\left(\frac{a}{2}\right)}\cos{\left(\frac{a}{2}\right)}}{+\cos^2{\left(\frac{a}{2}\right)}+\sin^2{\left(\frac{a}{2}\right)}+\cos^2{\left(\frac{a}{2}\right)}-\sin^2{\left(\frac{a}{2}\right)}}

\frac{2\sin{\left(\frac{a}{2}\right)}\cos{\left(\frac{a}{2}\right)}}{2\cos^2{\left(\frac{a}{2}\right)}\right)}\right)}}

ossia

\frac{\sin{\left(\frac{a}{2}\right)}}{\cos{\left(\frac{a}{2}\right)}\right)}\right)}}=\tan{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

Per la seconda espressione, si ragiona in modo del tutto analogo

\frac{1-\cos{(a)}}{\sin{(a)}}

e otteniamo

\frac{1-\cos^2{\left(\frac{a}{2}\right)}+\sin^2{\left(\frac{a}{2}\right)}}{2\sin{\left(\frac{a}{2}\right)}\cos{\left(\frac{a}{2}\right)}}

sempre grazie all'identità fondamentale della trigonometria

\frac{\cos^2{\left(\frac{a}{2}\right)}+\sin^2{\left(\frac{a}{2}\right)}-\cos^2{\left(\frac{a}{2}\right)}+\sin^2{\left(\frac{a}{2}\right)}}{2\sin{\left(\frac{a}{2}\right)}\cos{\left(\frac{a}{2}\right)}}

e quindi

\frac{2\sin^2{\left(\frac{a}{2}\right)}}{2\sin{\left(\frac{a}{2}\right)}\cos{\left(\frac{a}{2}\right)}}

\tan{\left(\frac{a}{2}\right)}
Ringraziano: Pi Greco, frank094, Ifrit
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