Perimetro di un triangolo isoscele conoscendo l'area e l'angolo alla base (trigonometria)

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Perimetro di un triangolo isoscele conoscendo l'area e l'angolo alla base (trigonometria) #11964

avt
JohnnyR
Cerchio
Ciao a tutti, come al solito chiedo il vostro aiuto per la risoluzione di un problema di Trigonometria sull'area di un triangolo isoscele.

L'area di un triangolo isoscele è di cm^2 144sqrt(3) e uno degli angoli alla base è di 30°. Determinare il perimetro del triangolo.

Grazie!
 
 

Perimetro di un triangolo isoscele conoscendo l'area e l'angolo alla base (trigonometria) #11975

avt
Omega
Amministratore
Ciao JohnnyR emt

Chiamiamo AB la base e AC,BC i lati obliqui del triangolo isoscele (clicca sul link per il formulario): noi sappiamo che gli angoli alla base, che sono congruenti in un triangolo isoscele, misurano 30^{o}.

Se tracciamo l'altezza CH relativa alla base AB questa divide il triangolo ABC in due triangoli rettangoli congruenti. Se consideriamo ad esempio il triangolo CHA, grazie alle relazioni trigonometriche sui triangoli rettangoli possiamo calcolare

CH=AC\sin{(30^{o})}=\frac{1}{2}AC

e

AH=AC\cos{(30^{o})}=\frac{\sqrt{3}}{2}AC

Questo ci permette di calcolare la misura della base AB:

AB=2AH=\sqrt{3} AC

Sappiamo inoltre che l'area di un triangolo si calcola come semiprodotto tra base e altezza, per cui

S_{ABC}=\frac{CH\cdot AB}{2}=\frac{\frac{AC}{2}\sqrt{3}AC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}AC^2

In questo modo possiamo ricavare la misura del lato obliquo

\frac{\sqrt{3}}{4}AC^2=144\sqrt{3}

da cui AC=24cm e quindi AB=24\sqrt{3}cm

Siamo pronti per calcolare il perimetro del triangolo:

2p=2AC+AB=48+24\sqrt{3}=24(2+\sqrt{3})

emt
Ringraziano: Pi Greco, JohnnyR
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Os