Problema di trigonometria: triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

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Problema di trigonometria: triangolo equilatero inscritto in una circonferenza #11955

avt
Jumpy
Cerchio
Buon pomeriggio ragà, tutto bene? Mi potreste aiutare a risolvere un problema sul triangolo equilatero inscritto in una circonferenza, spiegandomi come applicare le dovute formule trigonometriche?

Il problema è questo: in una circonferenza di raggio r è inscritto il triangolo equilatero ABC. Determinare un punto P sull'arco AB non contente c, in modo che la differenza fra le aree dei triangoli PCA, PCB, sia rad(3)/3 dell'area del triangolo ABC.

Il testo mi dà come risultato: x=15°. Muchas Gracias! emt
Ringraziano: Omega
 
 

Problema di trigonometria: triangolo equilatero inscritto in una circonferenza #12032

avt
Omega
Amministratore
Buondì Jumpy emt

Per risolvere il problema, dopo aver prontamente disegnato la figura emt il punto di partenza consiste nel ricordare che angoli che insistono sullo stesso arco di circonferenza sono congruenti. Quindi relativamente all'arco BC

BPC = BAC = 60^(o)

e relativamente all'arco AC

APC = ABC = 60^(o)

Che altro c'è da ricordare?...emt ...Che il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio r misura

AB = BC = AC = √(3)r

e l'altezza del triangolo misura (chiamiamola AH)

AH = (3)/(2)r

Per prima cosa calcoliamo l'area del triangolo equilatero

S_(ABC) = (AH·BC)/(2) = ((3)/(2)r·√(3)r)/(2) = (3√(3))/(4)r^2

e chiamiamo AH,BK le altezze dei triangoli APC,BPC.

Tre ingredienti, e ci siamo

1) x: = PCA

2) Guardiamo il triangolo PBC, e applichiamo il teorema dei seni, tenendo conto del fatto che

PCB = 60^(o)-x

abbiamo

(BC)/(sin(BPC)) = (PB)/(sin(PCB))

da cui

PC = (√(3)rsin((60^(o)-x)))/(sin((60^(o))))

La somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180°, quindi

PBC = 180^(o)-60^(o)-(60^(o)-x) = 60^(o)+x

e applichiamo ancora una volta il teorema dei seni:

(BC)/(sin(BPC)) = (PC)/(sin(PBC))

da cui

PC = (√(3)rsin((60^(o)+x)))/(sin((60^(o))))

3) Misure delle altezze AH,BK, con le formule trigonometriche per i triangoli rettangoli, in particolare applicate ai triangoli AHC,BPK:

AH = ACsin(HCA) = √(3)rsin(x)

PK = PBsin(BPK)

Siamo pronti per calcolare le aree dei triangoli PBC,PAC con la solita formula per il calcolo dell'area di un triangolo: semiprodotto tra base e altezza

S_(PBC) = (PC·BK)/(2)

S_(PAC) = (PC·AH)/(2)

C'è tutto: bisogna "solo" emt sostituire i valori d'area nella relazione richiesta (sai che non ho capito qual è il coefficiente dell'area S_(ABC)? emt )
Ringraziano: Pi Greco
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Os