Problema di trigonometria: triangolo equilatero inscritto in una circonferenza

Buon pomeriggio ragà, tutto bene? Mi potreste aiutare a risolvere un problema sul triangolo equilatero inscritto in una circonferenza, spiegandomi come applicare le dovute formule trigonometriche?

Il problema è questo: in una circonferenza di raggio r è inscritto il triangolo equilatero ABC. Determinare un punto P sull'arco AB non contente c, in modo che la differenza fra le aree dei triangoli PCA, PCB, sia rad(3)/3 dell'area del triangolo ABC.

Il testo mi dà come risultato: x=15°. Muchas Gracias!

Buondì Jumpy

Per risolvere il problema, dopo aver prontamente disegnato la figura il punto di partenza consiste nel ricordare che angoli che insistono sullo stesso arco di circonferenza sono congruenti. Quindi relativamente all'arco



e relativamente all'arco



Che altro c'è da ricordare?... ...Che il lato di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza di raggio misura



e l'altezza del triangolo misura (chiamiamola )



Per prima cosa calcoliamo l'area del triangolo equilatero



e chiamiamo le altezze dei triangoli .

Tre ingredienti, e ci siamo

1)

2) Guardiamo il triangolo , e applichiamo il teorema dei seni, tenendo conto del fatto che



abbiamo



da cui



La somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è 180°, quindi



e applichiamo ancora una volta il teorema dei seni:



da cui



3) Misure delle altezze , con le formule trigonometriche per i triangoli rettangoli, in particolare applicate ai triangoli :





Siamo pronti per calcolare le aree dei triangoli con la solita formula per il calcolo dell'area di un triangolo: semiprodotto tra base e altezza





C'è tutto: bisogna "solo" sostituire i valori d'area nella relazione richiesta (sai che non ho capito qual è il coefficiente dell'area ? )