Valore delle funzioni goniometriche in un'espressione trigonometrica

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Valore delle funzioni goniometriche in un'espressione trigonometrica #10010

avt
JohnnyR
Cerchio
Buonasera, chiedo il vostro aiuto per risolvere un'espressione goniometrica in cui devo calcolare il valore delle funzioni trigonometriche:

[(√(1-cos((30^(o)))))/(1+cos((30^(o))))+(tan((45^(o)))-tan((30^(o))))/(1+tan((45^(o)))tan((30^(o))))](sin((30^(o))))/(1-cos((-30^(o))))

e vi ringrazio in anticipo per l'attenzione!
 
 

Valore delle funzioni goniometriche in un'espressione trigonometrica #10031

avt
Omega
Amministratore
Ciao JohnnyR!

Per determinare il valore dell'espressione trigonometrica

[(√(1-cos((30^(o)))))/(1+cos((30^(o))))+(tan((45^(o)))-tan((30^(o))))/(1+tan((45^(o)))tan((30^(o))))](sin((30^(o))))/(1-cos((-30^(o))))

è sufficiente conoscere i valori delle funzioni trigonometriche sin(x),cos(x),tan(x) negli angoli del primo quadrante.

L'unico angolo che va ridotto al primo è -30^(o), e per farlo è sufficiente osservare che vale la relazione (formule sugli archi associati)

cos((-30^(o))) = cos((30^(o)))

Con queste premesse, l'espressione diventa:

[(√(1-(√(3))/(2)))/(1+(√(3))/(2))+(1-(1)/(√(3)))/(1+1·(1)/(√(3)))]((1)/(2))/(1-(√(3))/(2))

Tutto il resto è noia:

[(√((2-√(3))/(2)))/((2+√(3))/(2))+((√(3)-1)/(√(3)))/((√(3)+1)/(√(3)))]((1)/(2))/((2-√(3))/(2))

[(√(2(2-√(3))))/(2+√(3))+(√(3)-1)/(√(3)+1)](1)/(2-√(3))

Semplificando il radicale doppio √(2(2-√(3))), otteniamo

√(2(2-√(3))) = √(3)-1

quindi

[(√(3)-1)/(2+√(3))+(√(3)-1)/(√(3)+1)](1)/(2-√(3))

Calcoliamo il denominatore comune nella coppia di parentesi quadre

[(3-1+(√(3)-1)(2+√(3)))/((2+√(3))(√(3)+1))](1)/(2-√(3))

semplifichiamo il semplificabile

[(√(3)+3)/((2+√(3))(√(3)+1))](1)/(2-√(3))

e moltiplichiamo

(√(3)+3)/((√(3)+1))

Vogliamo esagerare? Razionalizziamo!

(√(3)+3)/((√(3)+1))(√(3)-1)/(√(3)-1) = (2√(3))/(2) = √(3)
Ringraziano: Pi Greco, frank094
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