Sistema di tre equazioni differenziali lineari del secondo ordine

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Sistema di tre equazioni differenziali lineari del secondo ordine #99995

avt
leon
Punto
Ho il seguente sistema di tre equazioni differenziali lineari del secondo ordine, due omogenee una completa con termine noto costante:

\begin{cases}mx''=-\lambda x'\\ my''=-\lambda y'-mg\\mz''=-\lambda z'\end{cases}

con le seguenti condizioni iniziali:

\\ P(0)=(0,0,0)\\ \\ \mathbf{v}_{0}=v_{0_{x}}\mathbf{i}+v_{0_y}\mathbf{j}

Durante lo svolgimento la professoressa pone

h=\frac{\lambda }{m}

così il sistema dato diventa

\begin{cases}x''+hx'=0\\ y''+h y'=-g\\z''+hz'=0\end{cases}

e l'integrale generale vale

\begin{cases}x(t)=C_{1}e^{-ht}+C_{2}\\ y(t)=C_{3}e^{-ht}+C_{4}-\frac{g}{h}t\\z(t)=C_{5}e^{-ht}+C_{6}\end{cases}

Imponendo le condizioni iniziali infine si ha

\begin{cases}x(t)=\frac{v_{0_x}}{h}(1-e^{-ht})\\ y(t)=(\frac{v_{0_y}}{h}+\frac{g}{h^{2}})(1-e^{-ht})-\frac{g}{h}t\\z(t)=0\end{matrix}\right.

Le mie difficoltà sono due:

1) come faccio a capire in base al problema che mi trovo di fronte, che tipo di sostituzione fare? Mi riferisco a quando la professoressa pone h=\frac{\lambda }{m}, sicuramente dovrò fare una sostituzione tale da semplificare i calcoli, ma come scegliere i termini “ottimali”?

2) Non riesco a risolvere l'integrale generale della completa (y''+h y'=-g) che presenta come termine noto una costante (-g), so che per determinare l'integrale generale devo trovare prima l'integrale generale della sua omogenea e poi sommare quest'ultima con la soluzione particolare, ed è proprio questa che non riesco a determinarmi.

Nella determinazione della soluzione particolare, ho considerato il termine noto, che è una costante (-g) come se fosse un polinomio ma il mio risultato differisce da quello del libro.

3) Chiedo anche un consiglio per così dire operativo, mi spiego: quando provo e riprovo a risolvere un esercizio ma non riesco mai ad arrivarne a capo mi domando cosa sbaglio, è come se negli esercizi ci fossero sempre casi "particolari" rispetto alla teoria...

Quando non riesco a venirne a capo butto via un sacco di tempo nel cercare esercizi simili per capire come risolvere un caso analogo, 2 volte su 10 mi va bene,nel senso che trovo la soluzione, le altre 8 volte butto solo via un sacco di tempo. Poi, quando mi viene data la soluzione, la capisco subito e spesso la trovo pure banale.

È normale o sono io che sbaglio approccio? È semplice mancanza di pratica/esperienza? Tenete anche conto che non seguo lezioni, non ho nessuno con cui studiare, sono completamente autodidatta (anche se spesso mi appoggio al vostro utilissimo e chiarissimo sito).

Grazie.
 
 

Sistema di tre equazioni differenziali lineari del secondo ordine #99999

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao leon!

In buona sostanza, il nostro compito consiste nel risolvere il sistema di equazioni differenziali indipendenti

\begin{cases}mx''=-\lambda x'\\ my''=-\lambda y'-mg\\ mz''=-\lambda z'\end{cases}

a cui vengono associate le condizioni iniziali

\\ P(0)=(x(0),y(0),z(0))=(0,0,0) \\ \\ \mathbf{v}_{0}=v_{0_x}\mathbf{i}+v_{0_y}\mathbf{j}+0\mathbf{k}

Analizziamo primariamente le equazioni differenziali che sono:

\\ mx''=-\lambda x' \\ \\ my''=-\lambda y'-mg \\ \\ mz''=-\lambda z'

e osserviamo immediatamente che la prima e la terza sono equazioni differenziali lineari, del secondo ordine, omogenee e a coefficienti costanti, mentre la seconda non è omogenea.

Per prima cosa occorre dividere i membri di ciascuna equazione per m cosicché i coefficienti delle derivate seconde siano pari a 1.

\\ x''=-\frac{\lambda}{m} x' \\ \\ y''=-\frac{\lambda}{m} y'-g \\ \\ z''=-\frac{\lambda}{m} z'

Per pura comodità notazionale, il tuo professore ha posto

h=\frac{\lambda}{m}

Leggi in spoiler per capire perché.

:pinch: Spoiler: test nascosto! Clicca qui per visualizzarlo


Grazie alla sostituzione, le tre equazioni diventano

\\ x''=-h x' \\ \\ y''=-h y'-g \\ \\ z''=-h z'

Portiamo i termini con le derivate prime a sinistra

\\ x''+hx'=0 \\ \\ y''+hy'=-g\\ \\ z''+hz'=0

ed esaminiamo le tre equazioni differenziali partendo dalla prima (la terza si risolve in maniera del tutto analoga).


Risoluzione dell'equazione differenziale x''+hx'=0

x''+hx'=0

è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine, omogenea e a coefficienti costanti. La prima cosa che bisogna fare in questi casi è quella di associarle l'equazione caratteristica

\alpha^2+h\alpha=0

Raccogliamo totalmente rispetto ad \alpha

\alpha(\alpha+h)=0

e usiamo in seguito la legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale ci riconduciamo alle equazioni:

\alpha=0 \ \ \ \vee \ \ \ \alpha+h=0

da cui ricaviamo

\alpha=0 \ \ \ \vee \ \ \ \alpha=-h

In accordo con la teoria, la famiglia di funzioni che soddisfa l'equazione differenziali è:

x(t)=C_{1}e^{-ht}+C_{2}e^{0\cdot t}=C_1e^{-ht}+C_2

dove C_1, C_2 sono due costanti reali.

Procedendo in maniera analoga per l'equazione

z''=-hz'

ricaviamo la famiglia di soluzioni

z(t)=C_{5}e^{-ht}+C_6

dove C_{5}, C_6 sono costanti reali da determinare grazie alle condizioni iniziali.


Risoluzione dell'equazione differenziale y''+hy'=-g

y''+hy'=-g

è un'equazione differenziale lineare, del secondo ordine, non omogenea e a coefficienti costanti, in cui il termine noto è f(t)=-g (è una funzione costante).

In generale, le soluzioni di una siffatta equazione non sono altro che la somma tra le soluzioni dell'omogenea associata y_{o}(t) e una soluzione particolare y_{p}(t).

y(t)=y_{o}(t)+y_{p}(t)


Risoluzione dell'omogenea

L'equazione omogenea associata a

y''+hy'=-g

è

y''+hy'=0

che, se facciamo attenzione, ha la medesima struttura delle due precedenti. Proprio per questo motivo, usando lo stesso procedimento, scopriamo che le soluzioni dell'omogenea associata sono:

y_{o}(t)=C_3e^{-ht}+C_4

dove C_3,C_4 sono costanti da determinare.


Calcolo della soluzione particolare

Calcoliamo la soluzione particolare dell'equazione differenziale

y''+hy'=-g

Esistono diversi metodi che consentono di raggiungere il nostro obiettivo, il più semplice e (il più famoso) è il cosiddetto metodo di somiglianza.

Partiamo dal presupposto che la funzione termine noto f(t)=-g è in realtà una funzione polinomiale di grado 0.

Atteniamoci alla tabella riportata nella lezione del metodo di somiglianza: poiché f(t) è di tipo polinomiale, possiamo rivederla nella forma:

f(t)=-g=-g e^{\tilde\alpha t}\ \ \ \mbox{dove} \ \tilde\alpha=0

[è un trucchetto necessario, perché altrimenti scegliamo male la soluzione particolare].

Poiché \tilde{\alpha}=0 è soluzione dell'equazione caratteristica, la funzione particolare dovrà essere del tipo:

y_{p}(t)=te^{\tilde{\alpha} t}\overline{Q}(t)

dove \tilde{\alpha}=0 e \overline{Q}(t) è un polinomio che ha lo stesso grado di f(t): in altri termini \overline{Q}(t) è una costante che possiamo chiamare tranquillamente A, ergo

y_{p}(t)=t\cdot A

Una volta determinata l'espressione della soluzione particolare, occorre:

- calcolare la derivata prima e la derivata seconda di y_{p}(t)

\\ y_{p}'(t)=\frac{d}{dt}[t\cdot A]=A \\ \\ \\ y_{p}''(t)=\frac{d}{dt}[y_{p}'(t)]=\frac{d}{dt}[A]=0

- sostituire le derivate nell'equazione differenziale non omogenea e determinare il valore di A

y_{p}''+hy_{p}'=-g \ \ \ \to \ \ \ 0+Ah=-g

da cui

A=-\frac{g}{h}

In definitiva, la soluzione particolare della seconda equazione differenziale del sistema è

y_{p}(t)=-\frac{g}{h}t

e l'integrale generale diventa

\\ y(t)=y_{o}(t)+y_{p}(t)= C_3e^{-ht}+C_4-\frac{g}{h}t

A questo punto non resta che imporre le condizioni iniziali per ricavare le costanti sei costanti. Se hai bisogno di una mano per quelli, chiedi pure. emt

Alcuni consigli

Sulla Matematica, così come su qualsiasi materia a stampo scientifico, bisogna sbatterci la testa fino a quando non si è sicuri di aver assimilato il metodo. Con il tempo (con tanto tempo, purtroppo) tutte le incertezze diminuiscono: bisogna avere solo pazienza e tanta, tanta voglia di sporcarsi le mani.

Sbagli 1000 volte? Ritenti la 1001-esima volta. Continui a sbagliare? Riprovi, fino a quando non sei tu a vincere.

(Questo è il mio approccio, quasi compulsivo, alla matematica, non è detto che funzioni con tutte le tipologie di persone).
Ringraziano: Omega, leon
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Os