Funzione: studiare dominio, range, derivata e monotonia

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Funzione: studiare dominio, range, derivata e monotonia #99984

avt
Michieletto
Punto
Vorrei capire come svolgere questo esercizio sullo studio di dominio, immagine, calcolo della derivata e studio della monotonia di una funzione:

f(x) = \sqrt{1 - x^3}

- Trovare il dominio di f(x);

- Calcolare la derivata fâ(x)

- Provare che f è una funzione monotona

- Trovare il range di f.

Grazie!
 
 

Funzione: studiare dominio, range, derivata e monotonia #99986

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao Michieletto!

L'esercizio ci chiede di trovare il dominio, di calcolare la derivata prima e di esplicitare l'immagine della funzione irrazionale

f(x)=\sqrt{1-x^3}


Dominio della funzione

Ogni studio di funzione che si rispetti inizia proprio con il calcolo del dominio.

Poiché compare una radice con indice pari, la funzione è ben definita nel momento in cui il radicando è maggiore o al più uguale di zero

D\ :\ 1-x^3\ge 0

Risolviamo la disequazione di terzo grado isolando x^3 al primo membro

1-x^3\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ -x^3\ge -1 \ \ \ \to \ \ \ x^3\le 1

dopodiché estraiamo membro a membro la radice cubica.

x\le 1

Possiamo affermare quindi che il dominio della funzione è:

D \ : \ x\le 1

che, con la notazione degli intervalli, può essere espresso nella forma equivalente

D=(-\infty,1]


Calcolo della derivata

Prima di calcolare la derivata della funzione, usiamo la definizione di potenza con esponente fratto così da esprimere la radice quadrata come una potenza del radicando:

f(x)=\sqrt{1-x^3}=(1-x^3)^{\frac{1}{2}}

Questa semplice riscrittura della funzione ci autorizza a usare la regola di derivazione per le potenze che, in combinazione con la regola di derivazione delle funzioni composte, garantisce la veridicità dei seguenti passaggi:

\\ f'(x)=\frac{d}{dx}[(1-x^3)^{\frac{1}{2}}]= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}(1-x^3)^{\frac{1}{2}-1}\cdot\frac{d}{dx}[1-x^3]=\\ \\ \\ =\frac{1}{2}(1-x^3)^{-\frac{1}{2}}(-3x^2)=\\ \\ \\ =-\frac{3x^2}{2\sqrt{1-x^3}}

Chiaramente i passaggi sono leciti per x<1: 1 va escluso perché annulla il denominatore della derivata e si candida come punto di non derivabilità (lo esaminiamo in seguito, perché il testo non chiede di studiare i punti di non derivabilità).


Studio della monotonia di f(x)

Per studiare la monotonia della funzione è sufficiente esaminare il segno della derivata prima.

Più precisamente, per dimostrare che f(x) è una funzione monotona nell'intervallo (-\infty,1] basta verificare che f'(x) sia a segno costante (sempre positiva o sempre negativa, tuttalpiù, la derivata si può annullare in singoli punti).

Impostiamo, quindi, la disequazione irrazionale

f'(x)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ -\frac{3x^2}{2\sqrt{1-x^3}}\ge 0

e cambiamo segni e verso

\frac{3x^2}{2\sqrt{1-x^3}}\le 0

Esaminiamo separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore

\\ \mbox{Num}\ge 0\ : \ 3x^2\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\in\mathbb{R} \\ \\ \mbox{Den}>0 \ :\ 2\sqrt{1-x^3}>0 \ \ \ \to \ \ \ 1-x^3>0 \ \ \ \to \ \ \ x<1

Dalla tabella dei segni deduciamo che f'(x) è:

- positiva per alcun valore del dominio D, escluso x=1;

- nulla per x=0;

- negativa per ogni x\in D-\{0,1\}.

In accordo con la teoria, possiamo affermare che f(x):

- è monotona decrescente per ogni x\in D;

- ha un punto di flesso a tangente orizzontale in x=0.

- ha un punto di minimo assoluto in x_{0}=1, il minimo associato vale

f(1)=\sqrt{1-1^3}=0

pertanto, in accordo con la definizione di minimo assoluto:

f(x)\ge f(1)=0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in (-\infty, 1]

Il segno costante della derivata prima nell'intervallo (-\infty, 1] garantisce la monotonia di f(x) e in particolare è una funzione monotona decrescente.


Immagine della funzione

Per determinare l'immagine della funzione possiamo procedere con il metodo analitico.

Poiché il minimo assoluto della funzione è f(0)=0; il seguente limite è +\infty

\lim_{x\to -\infty}\sqrt{1-x^3}=+\infty

e f(x) è una funzione continua, il teorema dei valori intermedi garantisce che f(x) assume tutti i valori compresi tra il suo minimo assoluto (0) e l'estremo superiore (+\infty), per cui:

f(D)=[0,+\infty)


]Metodo algebrico per il calcolo dell'immagine

È possibile usare anche il metodo algebrico per calcolare l'immagine di f(x): è l'insieme composto da tutti i possibili valori di y per cui l'equazione parametrica

f(x)=y \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{1-x^3}=y

ammette almeno una soluzione in x.

Per prima cosa imponiamo la condizione di concordanza: poiché il primo membro è positivo o al più nullo, lo deve essere anche il secondo.

C.C.: \ y\ge 0

Eleviamo al quadrato i due membri così da sbarazzarci della radice quadrata

\sqrt{1-x^3}=y\ \ \ \to \ \ \ 1-x^3=y^2

Isoliamo x^3 al primo membro:

-x^3=y^2-1 \ \ \ \to \ \ \ x^3=1-y^2

e infine estraiamo la radice cubica a destra e a sinistra dell'uguale:

x=\sqrt[3]{1-y^2}

Possiamo affermare che per ogni y\ge 0, l'equazione parametrica ammette almeno una soluzione in x (è quella che abbiamo trovato), per cui concludiamo che l'immagine di f(x) è

f(D) \ : \ y\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ [0,+\infty)


]Punto di non derivabilità (non necessario)

Sebbene non sia richiesto dalla traccia, è utile esaminare il punto x_{0}=1 dal punto di vista della derivabilità.

Avvaliamoci della definizione di derivata in un punto:

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=

che nel caso considerato diventa

=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{1-(1+h)^3}-\sqrt{1-1}}{h}=

Sviluppiamo il cubo di binomio e svolgiamo il calcoli:

=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{-3h-3h^2-h^3}}{h}=

Mettendo in evidenza -h e usando le proprietà delle radici, il limite precedente si riscrive nella forma equivalente:

=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{-h}\sqrt{3+3h+h^2}}{h}=

Spezziamo il limite del prodotto nel prodotto dei limiti

=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{-h}}{h}\cdot\lim_{h\to 0^{-}}\sqrt{3+3h+h^2}=

e scriviamo il risultato, osservando che il termine \frac{\sqrt{-h}}{h} tende a -\infty

=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\sqrt{-h}}{h}\cdot\sqrt{3}=-\infty

Poiché il limite del rapporto incrementale centrato in x_{0}=1 non è finito, possiamo affermare che esso è effettivamente un punto di non derivabilità.
Ringraziano: Omega
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Os