Composizione e studio di un sistema lineare parametrico

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.
Questa sezione è un contenitore temporaneo per i topic speciali a pagamento (One-Shot)

Se hai acquistato uno o più Topic speciali, puoi pubblicarli qui cliccando su "Apri un Topic".

Il registro completo dei Topic risolti e in corso è disponibile sul proprio profilo.

Composizione e studio di un sistema lineare parametrico #99946

avt
Cappelli
Punto
Avrei bisogno di aiuto nella risoluzione del seguente esercizio sullo studio della compatibilità di un sistema lineare parametrico.

Sia

A= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 5 & -2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \in Mat(3,2,\mathbb{R})

e sia

B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1\\ 3 & 4 & -1 \end{pmatrix} \in Mat(2,3,\mathbb{R})

Discutere la risolubilità del sistema lineare, nell'incognita X \in \mathbb{R}^3

ABX = \begin{pmatrix} 4\\ \alpha \\ 2\end{pmatrix}

al variare di \alpha \in \mathbb{R}.

Per i valori di \alpha per i quali è risolubile determinare le soluzioni.
 
 

Composizione e studio di un sistema lineare parametrico #99960

avt
Galois
Amministratore
Riportiamo le matrici assegnate dal testo dell'esercizio

\\ A=\begin{pmatrix}1&3 \\ 5&-2 \\ 3&4\end{pmatrix} \\ \\ \\ \\ B=\begin{pmatrix}2&0&1 \\ 3&4&-1 \end{pmatrix}

Indichiamo con

X=\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}

il vettore colonna delle incognite, e svolgiamo il prodotto tra matrici ABX così da scrivere il sistema per esteso.


\\ AB = \begin{pmatrix}1&3 \\ 5&-2 \\ 3&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&0&1 \\ 3&4&-1 \end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix} 2+9 & 0+12 & 1-3 \\ 10-6 & 0-8 & 5+2 \\ 6+12 & 0+16 & 3-4 \end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix} 11&12&-2 \\ 4&-8&7 \\ 18&16&-1\end{pmatrix}

Di conseguenza

\\ ABX = \begin{pmatrix} 11&12&-2 \\ 4&-8&7 \\ 18&16&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}11x+12y-2z \\ 4x-8y+7z \\ 18x+16y-z\end{pmatrix}

e l'equazione matriciale assegnata

ABX=\begin{pmatrix}4 \\ \alpha \\ 2\end{pmatrix}

si tramuta nel sistema lineare parametrico

\begin{cases}11x+12y-2z=4 \\ 4x-8y+7z=\alpha \\ 18x+16y-z=2\end{cases}


Studio della compatibilità del sistema

Per studiarne la compatibilità procediamo col metodo di eliminazione gaussiana.

Scriviamo la matrice incompleta e la matrice completa associate al sistema

C=\begin{pmatrix}11&12&-2 \\ 4&-8&7 \\ 18&16&-1 \end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (C|\mathbf{b})=\begin{pmatrix}11&12&-2&4 \\ 4&-8&7&\alpha \\ 18&16&-1&2\end{pmatrix}

e riduciamo la matrice completa in una matrice a gradini applicando l'algoritmo di Gauss, ottenendo così anche una riduzione a scala della matrice incompleta.

Dette R_1, R_2, R_3 le righe della matrice (C|\mathbf{b}) effettuiamo le seguenti sostituzioni, con lo scopo di annullare gli elementi c_{21} \mbox{ e } c_{31}

\\ R_2 \to -\frac{4}{11}R_1+R_2 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-4 & -\frac{48}{11} & \frac{8}{11} & -\frac{16}{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4&-8&7&\alpha\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & -\frac{136}{11} & \frac{85}{11} & -\frac{16}{11}+\alpha \end{pmatrix} \\ \\ \\ R_3 \to -\frac{18}{11}R_1+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-18 & -\frac{216}{11} & \frac{36}{11} & -\frac{72}{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}18&16&-1&2\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & -\frac{40}{11} & \frac{25}{11} & -\frac{50}{11}\end{pmatrix}

Ciò che ne scaturisce è la matrice

(C|\mathbf{b})'=\begin{pmatrix}11&12&-2&4 \\ \\ 0 & -\frac{136}{11} & \frac{85}{11} & -\frac{16}{11}+\alpha \\ \\ 0 & -\frac{40}{11} & \frac{25}{11} & -\frac{50}{11} \end{pmatrix}


Indicando con R_2 \mbox{ e } R_3 seconda e terza riga di C', per completare la riduzione effettuiamo la sostituzione

\\ R_3=-\frac{5}{17}R_2+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & \frac{40}{11} & -\frac{25}{11} & -\frac{5}{17}\alpha+\frac{80}{187} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & -\frac{40}{11} & \frac{25}{11} & -\frac{50}{11} \end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & -\frac{5}{17}\alpha-\frac{70}{17} \end{pmatrix}

La matrice completa ridotta è

(C|\mathbf{b})''=\begin{pmatrix}11&12&-2&4 \\ \\ 0 & -\frac{136}{11} & \frac{85}{11} & -\frac{16}{11}+\alpha \\ \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{5}{17}\alpha-\frac{70}{17} \end{pmatrix}

mentre la matrice incompleta ridotta è

C''=\begin{pmatrix}11&12&-2 \\ \\ 0 & -\frac{136}{11} & \frac{85}{11} \\ \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}


Ricordiamo ora che il rango di una matrice coincide col rango della rispettiva matrice ridotta a gradini, e che il rango di una matrice a scalini è uguale al numero di pivot.

Di conseguenza

\mbox{rk}(C)=\mbox{rk}(C'')=2

Per quanto concerne la matrice completa ridotta

(C|\mathbf{b})''=\begin{pmatrix}11&12&-2&4 \\ \\ 0 & -\frac{136}{11} & \frac{85}{11} & -\frac{16}{11}+\alpha \\ \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{5}{17}\alpha-\frac{70}{17} \end{pmatrix}

l'elemento

a_{34}=-\frac{5}{17}\alpha-\frac{70}{17}

è nullo se e solo se

\alpha=-14

dunque, il rango di (C|\mathbf{b}) è 2 se \alpha=-14, ed è 3 se \alpha \neq -14.


In definitiva, il teorema di Rouché Capelli ci permette concludere che:

Se \alpha=-14 il sistema è compatibile e ammette \infty^2 soluzioni;

Se \alpha\neq -14 il sistema è impossibile.


Calcolo delle soluzioni

Per concludere l'esercizio calcoliamo le soluzioni del sistema per i valori del parametro per cui è compatibile, ossia per \alpha=-14.

\begin{cases}11x+12y-2z=4 \\ 4x-8y+7z=-14 \\ 18x+16y-z=2\end{cases}

Disponendo delle matrici ridotte è un gioco da ragazzi, basta infatti riscrivere la matrice completa ridotta già calcolata

(C|\mathbf{b})''=\begin{pmatrix}11&12&-2&4 \\ \\ 0 & -\frac{136}{11} & \frac{85}{11} & -\frac{16}{11}+\alpha \\ \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{5}{17}\alpha-\frac{70}{17} \end{pmatrix}

e sostituire \alpha con -14, così da ottenere

(C|\mathbf{b})''=\begin{pmatrix}11&12&-2&4 \\ \\ 0 & -\frac{136}{11} & \frac{85}{11} & -\frac{170}{11} \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Dopodiché scriviamo il sistema la cui matrice completa associata è (C|\mathbf{b})''

\begin{cases}11x+12y-2z=4 \\ -\frac{136}{11}y+\frac{85}{11}z=-\frac{170}{11}\end{cases}

Sapendo che ammette \infty^1 soluzioni, poniamo z=t, con t \in \mathbb{R}, e risolviamolo col metodo di sostituzione.

\\ \begin{cases}z=t \\ 11x+12y-2z=4 \\ -\frac{136}{11}y+\frac{85}{11}z=-\frac{170}{11}\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}z=t \\ 11x+12y-2t=4 \\ -136y+85t=-170\end{cases}

Ricaviamo y dalla seconda equazione

y=\frac{85t+170}{136}

e sostituiamo nella terza, da cui ricaviamo x

\\ x=\frac{1}{11}\left(4+2t-12\left(\frac{85t+170}{136}\right)\right) = \\ \\ \\ = \frac{1}{11}\left(4+2t-3\left(\frac{85t+170}{34} \right ) \right ) = \\ \\ \\ = \frac{1}{11}\left(4+2t-\frac{255}{34}t-\frac{510}{34}\right)=\\ \\ \\ = \frac{1}{11}\left(-\frac{187}{34}t-11 \right )= \\ \\ \\ = -\frac{1}{2}t-1

Possiamo così concludere che per \alpha=-14 le soluzioni cercate sono

(x,y,z)=\left(-\frac{1}{2}t-1, \ \frac{85t+170}{136}, \ t\right), \mbox{ con } t \in \mathbb{R}
Ringraziano: Omega
  • Pagina:
  • 1
Os