Composizione e studio di un sistema lineare parametrico

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Composizione e studio di un sistema lineare parametrico #99946

avt
Cappelli
Punto
Avrei bisogno di aiuto nella risoluzione del seguente esercizio sullo studio della compatibilità di un sistema lineare parametrico.

Sia

A = [ 1 3 ; 5 -2 ; 3 4 ] ∈ Mat(3,2,R)

e sia

B = [ 2 0 1 ; 3 4 -1 ] ∈ Mat(2,3,R)

Discutere la risolubilità del sistema lineare, nell'incognita X ∈ R^3

ABX = [ 4 ; α ; 2]

al variare di α ∈ R.

Per i valori di α per i quali è risolubile determinare le soluzioni.
 
 

Composizione e studio di un sistema lineare parametrico #99960

avt
Galois
Amministratore
Riportiamo le matrici assegnate dal testo dell'esercizio

A = [1 3 ; 5 -2 ; 3 4] ; B = [2 0 1 ; 3 4 -1 ]

Indichiamo con

X = [x ; y ; z]

il vettore colonna delle incognite, e svolgiamo il prodotto tra matrici ABX così da scrivere il sistema per esteso.


AB = [1 3 ; 5 -2 ; 3 4] [2 0 1 ; 3 4 -1 ] = [ 2+9 0+12 1-3 ; 10-6 0-8 5+2 ; 6+12 0+16 3-4 ] = [ 11 12 -2 ; 4 -8 7 ; 18 16 -1]

Di conseguenza

ABX = [ 11 12 -2 ; 4 -8 7 ; 18 16 -1] [ x ; y ; z] = [11x+12y-2z ; 4x-8y+7z ; 18x+16y-z]

e l'equazione matriciale assegnata

ABX = [4 ; α ; 2]

si tramuta nel sistema lineare parametrico

11x+12y-2z = 4 ; 4x-8y+7z = α ; 18x+16y-z = 2


Studio della compatibilità del sistema

Per studiarne la compatibilità procediamo col metodo di eliminazione gaussiana.

Scriviamo la matrice incompleta e la matrice completa associate al sistema

C = [11 12 -2 ; 4 -8 7 ; 18 16 -1 ] ; (C|b) = [11 12 -2 4 ; 4 -8 7 α ; 18 16 -1 2]

e riduciamo la matrice completa in una matrice a gradini applicando l'algoritmo di Gauss, ottenendo così anche una riduzione a scala della matrice incompleta.

Dette R_1, R_2, R_3 le righe della matrice (C|b) effettuiamo le seguenti sostituzioni, con lo scopo di annullare gli elementi c_(21) e c_(31)

R_2 → -(4)/(11)R_1+R_2 = [-4 -(48)/(11) (8)/(11) -(16)/(11) ]+[4 -8 7 α] = [0 -(136)/(11) (85)/(11) -(16)/(11)+α ] ; R_3 → -(18)/(11)R_1+R_3 = [-18 -(216)/(11) (36)/(11) -(72)/(11) ]+[18 16 -1 2] = [0 -(40)/(11) (25)/(11) -(50)/(11)]

Ciò che ne scaturisce è la matrice

(C|b)'= [11 12 -2 4 ; 0 -(136)/(11) (85)/(11) -(16)/(11)+α ; 0 -(40)/(11) (25)/(11) -(50)/(11) ]


Indicando con R_2 e R_3 seconda e terza riga di C', per completare la riduzione effettuiamo la sostituzione

R_3 = -(5)/(17)R_2+R_3 = [0 (40)/(11) -(25)/(11) -(5)/(17)α+(80)/(187) ]+[0 -(40)/(11) (25)/(11) -(50)/(11) ] = [0 0 0 -(5)/(17)α-(70)/(17) ]

La matrice completa ridotta è

(C|b)''= [11 12 -2 4 ; 0 -(136)/(11) (85)/(11) -(16)/(11)+α ; 0 0 0 -(5)/(17)α-(70)/(17) ]

mentre la matrice incompleta ridotta è

C''= [11 12 -2 ; 0 -(136)/(11) (85)/(11) ; 0 0 0 ]


Ricordiamo ora che il rango di una matrice coincide col rango della rispettiva matrice ridotta a gradini, e che il rango di una matrice a scalini è uguale al numero di pivot.

Di conseguenza

rk(C) = rk(C'') = 2

Per quanto concerne la matrice completa ridotta

(C|b)''= [11 12 -2 4 ; 0 -(136)/(11) (85)/(11) -(16)/(11)+α ; 0 0 0 -(5)/(17)α-(70)/(17) ]

l'elemento

a_(34) = -(5)/(17)α-(70)/(17)

è nullo se e solo se

α = -14

dunque, il rango di (C|b) è 2 se α = -14, ed è 3 se α ≠-14.


In definitiva, il teorema di Rouché Capelli ci permette concludere che:

Se α = -14 il sistema è compatibile e ammette ∞^2 soluzioni;

Se α ≠-14 il sistema è impossibile.


Calcolo delle soluzioni

Per concludere l'esercizio calcoliamo le soluzioni del sistema per i valori del parametro per cui è compatibile, ossia per α = -14.

11x+12y-2z = 4 ; 4x-8y+7z = -14 ; 18x+16y-z = 2

Disponendo delle matrici ridotte è un gioco da ragazzi, basta infatti riscrivere la matrice completa ridotta già calcolata

(C|b)''= [11 12 -2 4 ; 0 -(136)/(11) (85)/(11) -(16)/(11)+α ; 0 0 0 -(5)/(17)α-(70)/(17) ]

e sostituire α con -14, così da ottenere

(C|b)''= [11 12 -2 4 ; 0 -(136)/(11) (85)/(11) -(170)/(11) ; 0 0 0 0 ]

Dopodiché scriviamo il sistema la cui matrice completa associata è (C|b)''

11x+12y-2z = 4 ;-(136)/(11)y+(85)/(11)z = -(170)/(11)

Sapendo che ammette ∞^1 soluzioni, poniamo z = t, con t ∈ R, e risolviamolo col metodo di sostituzione.

z = t ; 11x+12y-2z = 4 ;-(136)/(11)y+(85)/(11)z = -(170)/(11) ; z = t ; 11x+12y-2t = 4 ;-136y+85t = -170

Ricaviamo y dalla seconda equazione

y = (85t+170)/(136)

e sostituiamo nella terza, da cui ricaviamo x

x = (1)/(11)(4+2t-12((85t+170)/(136))) = (1)/(11)(4+2t-3((85t+170)/(34))) = (1)/(11)(4+2t-(255)/(34)t-(510)/(34)) = (1)/(11)(-(187)/(34)t-11) = -(1)/(2)t-1

Possiamo così concludere che per α = -14 le soluzioni cercate sono

(x,y,z) = (-(1)/(2)t-1, (85t+170)/(136), t), con t ∈ R
Ringraziano: Omega
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Os