Sistema di equazioni differenziali e integrale generale per il moto di un corpo nel vuoto

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Sistema di equazioni differenziali e integrale generale per il moto di un corpo nel vuoto #99928

avt
leon
Punto
Ho delle difficoltà e incertezze nel calcolo di un semplice integrale generale per determinare il moto di un oggetto nel vuoto.

All'esame mi verrà chiesto di calcolarlo passaggio per passaggio, è quindi questo quello di cui ho bisogno.

Ecco l'esercizio: determinare il moto di un punto materiale (pm) soggetto al solo peso, in moto nel vuoto, con le seguenti condizioni iniziali:

P(0)=P_{0}=(0,0,0)\\ \\ \dot{P}(0)=\mathbf{v}_0\\ \\ v_{0x}=v_{0}\cos(\alpha)\\ \\ v_{0y}=v_{0}\sin(\alpha).

Soluzione

Intanto è un problema a 3 gradi di libertà, come parametri Lagrangiani scelgo x,y,z

Per determinare il moto devo risolvere il seguente problema di Cauchy:

\begin{cases}m(\ddot{x}\mathbf{i}+\ddot{y}\mathbf{j}+\ddot{z}\mathbf{k})=-mg\mathbf{j}\\ \\ P(0)=(0,0,0)\\ \\ \mathbf{v}_{0}=v_{0_x}\mathbf{i}+v_{0_{y}}\mathbf{j}\end{cases}

La prima equazione è la Legge di Newton, la seconda è posizione iniziale e la terza la velocità iniziale.

Proietto su i tre assi l'equazione di Newton ed ottengo un sistema di equazioni differenziali:

\begin{cases}m\ddot{x}=0 \\ m\ddot{y}=-mg \\ m\ddot{z}=0\end{cases}

La prima e la terza sono equazioni differenziale omogenee, la seconda è una equ. diff. completa, e se non erro sono Equazioni differenziali del moto del secondo ordine.

L'integrale generale del sistema visto è:

\begin{cases}x(t)=C_1t+C_2\\ \\ y(t)=-\dfrac{1}{2}gt^2+C_3t+C_4\\ \\ z(t)=C_5t+C_6\end{cases}

La prima e la terza equazione rappresentano il moto uniforme, la seconda il moto uniformemente accelerato.

Impongo le condizioni iniziali:

\begin{cases}x(0)=0=C_{2} \\ y(0)=0=C_{4}\\z(0)=0=C_{6} \\ \dot{x}(0)=v_{0x}=C_{1} \\ \dot{y}(0)=v_{0y}=C_{3}\\ \dot{z}(0)=0=C_{5} \end{cases}

Sostituendo i valori nell'integrale generale ho le equazioni del moto:

\begin{cases}x(t)=v_{0_x}t\\ \\ y(t)=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_{0_{y}}t\\ \\ z(t)=0\end{cases}
 
 

Sistema di equazioni differenziali e integrale generale per il moto di un corpo nel vuoto #99933

avt
Ifrit
Ambasciatore
Ciao leon!

Il nostro intento consiste nel determinare la legge oraria di un corpo di massa m soggetto esclusivamente alla forza peso \mathbf{F}_{peso} e di cui conosciamo:

- la posizione iniziale P(0)=P_{0};

- la velocità iniziale del corpo \mathbf{v}_{0}.

Per prima cosa fissiamo un sistema di riferimento comodo: in questa circostanza, quello migliore prevede di far coincidere l'origine degli assi con P(0), cosicché P(0) coincida con il vettore nullo.

Sempre per ragioni di comodità, fissiamo il piano O_{xy} così che contenga il vettore velocità iniziale \mathbf{v}_{0} e l'asse z in modo che sia perpendicolare a tale piano.

Il sistema di riferimento così fissato consente di scrivere le seguenti condizioni:

- la posizione iniziale del corpo è:

P(0)=(0,0,0)

- la velocità iniziale del corpo \mathbf{v}_{0} ha componenti:

\mathbf{v}_{0}=v_{0}\cos(\alpha)\,\mathbf{i}+v_{0}\sin(\alpha)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}

Per risolvere il problema, occorre usare la seconda legge di Newton secondo cui la forza agente su un corpo di massa m coincide con il prodotto tra la massa e l'accelerazione del corpo stesso:

\mathbf{F}=m\mathbf{a}

Indicate con x(t), \ y(t)\ \mbox{e} \ z(t) le coordinate del corpo all'istante t, il vettore accelerazione si riscrive nella forma:

\mathbf{a}=\ddot{x}(t)\ \mathbf{i}+\ddot{y}(t)\ \mathbf{j}+\ddot{z}(t)\mathbf{k}

dove \ddot{x}(t), \ \ddot{y}(t)\ \mbox{e} \ \ddot{z}(t) rappresentano rispettivamente le derivate seconde delle funzioni che individuano la posizione del corpo x(t), \ y(t)\ \mbox{e} \ z(t).

Poiché sul corpo agisce esclusivamente la forza peso, il vettore forza risultante si scrive nella forma:

\mathbf{F}=\mathbf{F}_{peso}=0\ \mathbf{i}-mg\ \mathbf{j}+0\ \mathbf{k}

dove g è il modulo dell'accelerazione di gravità.

L'equazione vettoriale

\mathbf{F}=m\mathbf{a}

si tramuta in

0\ \mathbf{i}-mg\ \mathbf{j}+0\ \mathbf{k}=m\left(\ddot{x}(t)\ \mathbf{i}+\ddot{y}(t)\ \mathbf{j}+\ddot{z}(t)\mathbf{k}\right)

da cui, uguagliando ordinatamente le componenti, ricaviamo il sistema formato da tre equazioni differenziali indipendenti tra loro:

\begin{cases}m\ddot{x}(t)=0\\ \\ m\ddot{y}(t)=-mg\\ \\ m\ddot{z}(t)=0\end{cases}


Risoluzione della prima equazione differenziale

Risolviamo la prima

m\ddot{x}(t)=0

Dividiamo i due membri per la massa m (che è certamente non nulla), ricavando così un'equazione differenziale del secondo ordine omogenea

\ddot{x}(t)=0

La sua risoluzione è praticamente immediata: basta integrare due volte rispetto a t.

Integrando una prima volta, otteniamo

\\ \int\ddot{x}(t)dt=\int 0 dt

Il primo integrale coincide, a meno di costanti additive, con \dot{x}(t), il secondo è zero, sempre a meno di costanti additive, pertanto:

\dot{x}(t)=C_1 \ \ \ \mbox{con}\ C_1\in\mathbb{R}

Integriamo nuovamente ambo i membri rispetto alla variabile t

\int\dot{x}(t)dt=\int C_{1}dt

L'integrale al primo membro coincide con x(t), a meno di costanti additive.

Per quanto concerne il secondo integrale, basta trasportare fuori dal simbolo di integrale la costante C_1 e ricordare che l'integrale di 1 è uguale a t a meno di costanti additive.

\int C_1 dt=C_1\int 1 dt=C_1t+C_2\ \ \ \mbox{con} \ C_1,C_2\in\mathbb{R}

per cui l'uguaglianza

\int\dot{x}(t)dt=\int C_{1}dt

diventa

x(t)=C_1t+C_2\ \ \ \mbox{con}\ C_1,C_2\in\mathbb{R}


Risoluzione della seconda equazione differenziale

Occupiamoci dell'equazione differenziale

m\ddot{y}(t)=-mg

Dividiamo i due membri per m

\ddot{y}(t)=-g

e integriamo i due membri rispetto a t

\int\ddot{y}(t)dt=\int(-g)dt

Il primo membro coincide con la derivata prima di y(t), vale a dire con \dot{y}(t) (a meno di costanti additive).

Per quanto concerne il secondo membro, svolgiamo i seguenti passaggi:

\int(-g)dt=-g\int 1 dt=-gt+C_3 \ \ \ \mbox{con} \ C_3\in\mathbb{R}

pertanto la relazione

\int\ddot{y}(t)dt=\int(-g)dt

diventa

\dot{y}(t)=-gt+C_3\ \ \ \mbox{con}\ C_3\in\mathbb{R}

Integriamo nuovamente rispetto a t membro a membro

\int\dot{y}(t)dt=\int[-gt+C_3]dt

L'integrale a sinistra coincide con la funzione y(t) (a meno di costanti additive). L'integrale a sinistra richiede qualche passaggio in più.

\int[-gt+C_3]dt=

Spezziamo l'integrale della somma come somma di integrali (si vedano le proprietà degli integrali):

=\int[-gt]dt+\int C_3dt=

Poiché -g \ \mbox{e} \ C_3 sono costanti moltiplicative, possiamo portarle fuori dal simbolo di integrale

=-g\int t dt+C_3\int 1 dt=

Per esplicitare l'integrale di t è sufficiente avvalersi della regola per l'integrale di una potenza.

\\ =-g\cdot\frac{1}{2}t^2+C_3t+C_4=\\ \\ \\ =-\frac{1}{2}gt^2+C_3t+C_4

dove C_{3}, C_4 sono due costanti reali qualsiasi.

La soluzione della seconda equazione differenziale è quindi:

y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+C_3 t+C_4\ \ \ \mbox{con} \ C_3,C_4\in\mathbb{R}

Nota: lungo l'asse delle ordinate il corpo si muove di moto parabolico.


Risoluzione della terza equazione differenziale

Per quanto concerne l'equazione differenziale

m\ddot{z}(t)=0

è sufficiente ricalcare i passaggi e i ragionamenti fatti per la prima.

Dividiamo membro a membro m

\ddot{z}(t)=0

e integriamo due volte rispetto alla variabile t

Integrando la prima volta, scriviamo:

\int\ddot{z}(t)dt=\int 0 dt

e ricaviamo:

\dot{z}(t)=C_5 \ \ \ \mbox{con}\ C_5\in\mathbb{R}

Integriamo nuovamente rispetto a t

z(t)=C_5 t+C_6

dove C_5\ \mbox{e} \ C_6 sono costanti reali.

In definitiva:

\\ x(t)=C_1t+C_2 \\ \\ y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+C_3t+C_4\\ \\ z(t)=C_{5}t+C_6


Imposizione delle condizioni iniziali

Non ci resta che imporre le condizioni iniziali per calcolare le varie costanti

x(0)=0 \ \ \ \to \ \ \ C_1\cdot0+ C_2=0 \ \ \ \to \ \ \ C_2=0

Per impostare la condizione iniziale \dot{x}(0)=v_{0_x} bisogna innanzitutto calcolare la derivata prima di x(t), valutarla in t=0 e imporre che l'espressione ottenuta sia uguale a v_{0_x}

x(t)=C_1t+C_2 \ \ \ \to \ \ \ \dot{x}(t)=C_1

da cui

\dot{x}(0)=v_{0_x}\ \ \ \to \ \ \ C_1=v_{0_x}

Le costanti che individuano univocamente x(t) sono

C_1=v_{0_{x}}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ C_2=0

per cui

x(t)=v_{0_{x}}t

Procediamo allo stesso modo per le altre funzioni:

y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+C_3t+C_4

Valutiamola in t=0 e imponiamo che sia uguale a 0

y(0)=0 \ \ \ \to \ \ \ -\frac{1}{2}g\cdot 0^2+C_3\cdot 0+C_4=0 \ \ \ \to \ \ \ C_4=0

Calcoliamo la derivata prima di y(t)

\dot{y}(t)=-gt+C_3

e imponiamo la condizione \dot{y}(0)=v_{0_y}

\dot{y}(0)=C_3 \ \ \ \to \ \ \ C_3=v_{0_{y}}

In definitiva, y(t) è data da:

y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_{0_y}t

Ricaviamo infine le costanti C_{5}\ \mbox{e}\ C_6 della funzione

z(t)=C_{5}t+C_{6}

imponendo le condizioni

z(0)=0 \ \ \ \mbox{e}\ \ \ \dot{z}(0)=0

Il vincolo z(0)=0 si tramuta nella relazione

z(0)=C_6=0

mentre il vincolo \dot{z}(0)=0 diventa

C_{5}=0

per cui la funzione z(t) è, a conti fatti, la funzione identicamente nulla

z(t)=0

La nullità di z(t) garantisce il fatto che il punto materiale si muove lungo il piano O_{xy} contenente \mathbf{v}_{0} (ossia la traiettoria del punto materiale è una curva piana).
Ringraziano: Omega, leon

Sistema di equazioni differenziali e integrale generale per il moto di un corpo nel vuoto #99974

avt
leon
Punto
Grazie Ifrit è tutto chiaro adesso!
Aiuto davvero prezioso! emt

Ho delle domande per levarmi qualche insicurezza:

1) quando specifichi la velocità iniziale del corpo, non mi tornano le componenti che metti.. io avrei infatti scritto:

v_{0}=v_{0}\cos(\alpha )\,\mathbf{i}+v_{0}\sin(\alpha )\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}

perché le componenti sono:

\\ v_{0x}=v_{0}\cos(\alpha )\mathbf{i}\\  \\ v_{0y}=v_{0}\sin(\alpha )\mathbf{j}

Giusto? o forse mi sfugge qualcosa?

2) Una domanda stupida, ma voglio esser sicuro di aver capito bene: per trovarmi le equazioni del moto devo integrare 2 due volte perché parto da una derivata seconda (cioè da una accelerazione) ed ho bisogno dell'equazione del moto, che è espressa dalle posizioni (ad esempio x(t) ), giusto?

3) Questa domanda è importante per me: non capisco perché in alcuni casi quando si integra si aggiunge la costante C al risultato mentre in altri casi si omette; ad esempio alla risoluzione della seconda equazione differenziale ho:

\int [-gt]dt+C{3}\int dt =\left(-g\frac{t^2}2\right)+(C_{3}t+C_{5})

ma non sarebbe più corretto:

\int [-gt]dt+C{3}\int dt =\left(-g\frac{t^2}2+C\right)+(C_{3}t+C_{5})

come faccio a capire quando aggiungere o non aggiungere +C al risultato dell'integrale?

4) Quando ho il sistema con le 3 equazioni dove a sinistra ho x(t),y(t),z(t) e a destra compaiono le costanti incognite più altro, questo cos'è? È come se fosse il sistema dell'equazione del moto nell'istante di tempo generico con le condizioni iniziali ancora non definite?

Le costanti C mi sembra di capire che dipendono dalle condizioni iniziali... Quindi questo è un sistema generico proprio perché mettendo delle condizioni mi trovo delle costanti che poi ri-sostituite mi descrivono il moto per quel determinato sistema con quelle condizioni? ho capito bene?

Curioso infatti che inserendo le condizioni iniziali all'istante t=0 mi determino le 6 costanti che sostituite mi danno le equazioni del moto in cui t è però nuovamente una variabile non più uguale a 0, ma in realtà adesso mi descrive il moto per quelle determinate condizioni; non so se sono stato chiaro... E non so se ho compreso bene...

Mi sembra di capire che è come se esistessero infiniti moti per il sistema dato, perché esistono infinite condizioni iniziali, ma nel mio problema mi vengono specificate queste condizioni iniziali e quindi posso "definire con precisione" le esatte equazioni di moto per questo sistema con queste condizioni iniziali.

(Mi scuso per la lunghezza e le ripetizioni!)

Ancora grazie.

Sistema di equazioni differenziali e integrale generale per il moto di un corpo nel vuoto #99976

avt
Ifrit
Ambasciatore
Grazie Ifrit è tutto chiaro adesso! Aiuto davvero prezioso!

Prego! emt

Ho delle domande per levarmi qualche insicurezza.

1) Quando specifichi la velocità iniziale del corpo, non mi tornano le componenti che metti.. io avrei infatti scritto:

v_{0}=v_{0}\cos(\alpha )\,\mathbf{i}+v_{0}\sen(\alpha )\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}

perché le componenti sono:

\\ v_{0x}=v_{0}\cos(\alpha )\mathbf{i}\\  \\ v_{0y}=v_{0}\sin(\alpha )\mathbf{j}

Giusto? o forse mi sfugge qualcosa?

Nono, ho commesso un typo. Ora ho corretto.

2) Una domanda stupida,ma voglio esser sicuro di aver capito bene: per trovarmi le equazioni del moto devo integrare 2 due volte perché parto da una derivata seconda (cioè da una accelerazione) ed ho bisogno dell' equazione del moto, che è espressa dalle posizioni (ad esempio x(t) ), giusto?

Esattamente! In questa circostanza, le equazioni differenziali che compongono il sistema sono del tipo:

\ddot{x}(t)=f(t)

dove f(t) dipende esclusivamente da t. Se le equazioni sono in questa forma, occorre integrare due volte f(t) per esplicitare x(t).

3) Questa domanda è importante per me: non capisco perché in alcuni casi quando si integra si aggiunge la costante C al risultato mentre in altri casi si omette; ad esempio alla risoluzione della seconda equazione differenziale ho:

\int [-gt]dt+C{3}\int dt =\left(-g\frac{t^2}{2}\right)+(C_{3}t+C_{5})

ma non sarebbe più corretto:

\int [-gt]dt+C{3}\int dt =\left(-g\frac{t^2}{2}+C\right)+(C_{3}t+C_{5})

come faccio a capire quando aggiungere o non aggiungere +C al risultato dell'integrale?

Formalmente avviene quello che io chiamo ribattesimo delle costanti.

Per farti capire cosa intendo, consideriamo l'integrale

\int [-gt]dt+C{3}\int dt =\left(-g\frac{t^2}{2}+C\right)+(C_{3}t+C_{5})

Le costante additive C\ \mbox{e} \ C_5 possono essere inglobate in una sola costante che possiamo ribattezzare C_{5}.

\int [-gt]dt+C{3}\int dt =-g\frac{t^2}{2}+C_{3}t+C_{5}

Ciò è lecito perché la somma algebrica tra costanti è ancora una costante.

Nota che ho riusato la stessa costante C_5 per indicare effettivamente due costanti diverse: sebbene in matematica questa pratica sia altamente sconsigliata, nel contesto delle equazioni differenziali, siamo pressoché obbligati a ribattezzare le costanti, proprio per evitare di esaurire tutte le lettere dell'alfabeto. emt

In definitiva, se hai l'integrale di una somma di funzioni, lo spezzi nella somma degli integrali dei singoli addendi e infine ci aggiungi una sola costante additiva, la quale ingloba in sé tutte le costanti additive degli integrali addendi.

Un esempio? Immagina di voler calcolare

\int[1+x+x^2+x^3]dx=

lo spezzi per linearità

=\int 1 dx+\int x dx+\int x^2dx+\int x^3 dx=

risolvi i singoli integrali e aggiungi infine la costante additiva

=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+C

dove C è la costante che "ingloba" le costanti additive dei singoli integrali.

4) Quando ho il sistema con le 3 equazioni dove a sinistra ho x(t),y(t),z(t) e a destra compaiono le costanti incognite più altro, questo cos'è? È come se fosse il sistema dell'equazione del moto nell'istante di tempo generico con le condizioni iniziali ancora non definite?

Le costanti C mi sembra di capire che dipendono dalle condizioni iniziali... quindi questo è un sistema generico proprio perché mettendo delle condizioni mi trovo delle costanti che poi ri-sostituite mi descrivono il moto per quel determinato sistema con quelle condizioni? ho capito bene?

Esattamente. Le costanti additive dipendono dalle condizioni iniziali e variano al variare di quest'ultime.

Curioso infatti che inserendo le condizioni iniziali all'istante t=0 mi determino le 6 costanti che sostituite mi danno le equazioni del moto in cui t è però nuovamente una variabile non più uguali a 0, ma in realtà adesso mi descrive il moto per quelle determinate condizioni; non so se sono stato chiaro... e non so se ho compreso bene...

Mi sembra di capire che è come se esistessero infiniti moti per il sistema dato, perché esistono infinite condizioni iniziali, ma nel mio problema mi vengono specificate queste condizioni iniziali e quindi posso "definire con precisione" le esatte equazioni di moto per questo sistema con queste condizioni iniziali.

In questo frangente, il linguaggio matematico lascia un po' a desiderare, d'altro canto mi pare che tu abbia comunque colto il messaggio.

Se non conosciamo le condizioni iniziali, siamo comunque in grado di determinare una famiglia di funzioni capaci di descrivere tutti i possibili moti del punto materiale (immaginale come infinite traiettorie che il punto materiale percorre).

Nel momento in cui le condizioni iniziali sono imposte, di tutte le traiettorie possibili, ne prenderemo una e una sola (sempre se siamo in regime di esistenza e unicità).

Di fatto, ciò che dovrebbe sorprenderti veramente è questo: basta conoscere la posizione iniziale del corpo e la sua velocità all'istante t_0 per avere informazioni su tutte le sue posizioni future.

Concludo con una curiosità: purtroppo in Fisica esistono anche i cosiddetti moti caotici, ossia problemi mal condizionati nel senso che a piccole variazioni delle condizioni iniziali corrispondono enormi variazioni nel sistema dinamico (vedasi il doppio pendolo). Lo studio di questi fenomeni, per quanto affascinanti, si complica notevolmente.
Ringraziano: leon

Sistema di equazioni differenziali e integrale generale per il moto di un corpo nel vuoto #99977

avt
leon
Punto
Buonasera Ifrit,

tutto chiaro, grazie davvero!

In realtà, più che stupirmi il fatto che posizione iniziale e velocità iniziali possano descrivermi tutto il moto sui tre assi, mi ha sorpreso che questo può accadere per qualsiasi istante venga fatto, cioè anche non iniziale, ma "a moto avviato"(se non ho compreso male). Ovvero se conosco le condizioni ad un determinato istante t compreso tra quello iniziale e finale, qualunque esso sia, che chiamo ad es chiamo t_{1}, e se conosco all'istante t_{1},v_{1},P_{1}, posso descrivere il moto in qualsiasi istante precedente o successivo.

Giusto?

Felice serata e grazie ancora.

Sistema di equazioni differenziali e integrale generale per il moto di un corpo nel vuoto #99982

avt
Ifrit
Ambasciatore
Esatto! Basta avere le giuste condizioni su un istante t_0 per ricavare le informazioni sulla posizione e sulla velocità del punto materiale per ogni t. emt
Ringraziano: leon

Sistema di equazioni differenziali e integrale generale per il moto di un corpo nel vuoto #99987

avt
leon
Punto
Perfetto! Interessante anche quello che dice sui moti caotici...

A presto! alla prossima lezione!
Grazie mille emt
Ringraziano: Ifrit
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Os